[论文解读] On the Arithmetic Dynamics of Monomial Maps

Jan-Li Lin|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文将Silverman在算术动力系统中的猜想——高度增长、Mordell-Lang与Manin-Mumford——推广至任意toric代数簇上的单式映射，而不仅限于代数环群。通过轨道-单纯形对应关系及利用特征多项式分析动力度，证明了算术度为代数整数且数量有限，并通过到torus的商映射刻画了预周期点。

ABSTRACT

We generalized several results for the arithmetic dynamics of monomial maps, including Silverman's conjectures on height growth, dynamical Mordell-Lang conjecture, and dynamical Manin-Mumford conjecture. These results are originally known for monomial maps on algebraic tori. We extend the results to arbitrary toric varieties.

研究动机与目标

• 将Silverman关于高度增长、动力Mordell-Lang与Manin-Mumford的猜想推广至一般toric代数簇上的单式映射。
• 将关于代数环群 $\mathbb{G}_m^n$ 的结果推广至包含 $\mathbb{G}_m^n$ 作为稠密开子集的任意toric代数簇。
• 通过商结构刻画toric代数簇上单式映射的预周期点集合。
• 证明算术度为代数整数且构成有限集合，其数值由特征多项式的不可约因式之谱半径决定。
• 证明将某点映射进入子簇的迭代次数集合是有限个等差数列的并集，从而将动力Mordell-Lang猜想推广至toric代数簇上的单式映射。

提出的方法

• 利用toric几何中的轨道-单纯形对应关系，将定义域分解为 $\mathbb{T}$-轨道，并在每个轨道上分析动力系统。
• 通过整数矩阵 $A$ 定义单式映射 $\varphi_A$，其从 $\mathbb{G}_m^n$ 扩张至任意toric代数簇 $X(\Delta)$。
• 利用Weil高度机理计算算术度 $\alpha_\varphi(P)$，并通过矩阵 $A$ 的特征多项式的谱分析证明该极限存在。
• 将算术度与 $\det(A - tI)$ 的不可约因式 $f_i(t)$ 的谱半径 $\rho(f_i)$ 关联，证明 $\alpha_\varphi(P) \in \{1, \rho(f_1), \dots, \rho(f_s)\}$。
• 利用商映射 $\pi: O_\sigma \to O_\sigma / G_\sigma \cong \mathbb{G}_m^{d-\ell}$ 将预周期点问题约化为Laurent关于扭点的定理。
• 应用Laurent关于代数子群中扭点的定理，刻画在商空间中为扭平移的子簇，从而表征具有Zariski稠密预周期点的子簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于toric代数簇上具有良定义正向轨道的所有点 $P$，算术度 $\alpha_\varphi(P)$ 是否存在？其值是否为代数整数？
• RQ2 对于toric代数簇上的单式映射，集合 $\{\alpha_\varphi(P) \mid P \in X_{\varphi}(\bar{\mathbb{Q}})\}$ 是否有限？
• RQ3 动力Mordell-Lang猜想是否对射影toric代数簇上的单式映射成立？即集合 $\{k \in \mathbb{N} \mid \varphi^k(P) \in Y\}$ 是否为有限个等差数列的并集？
• RQ4 哪些不可约子簇 $Y \subset X$ 在单式映射 $\varphi$ 下包含Zariski稠密的预周期点集？
• RQ5 能否通过约化至商torus并应用Laurent定理，解决toric代数簇上单式映射的动力Manin-Mumford问题？

主要发现

• 对于所有 $P \in X_{\varphi}(\bar{\mathbb{Q}})$，算术度 $\alpha_\varphi(P)$ 存在，且取值于有限集 $\{1, \rho(f_1), \dots, \rho(f_s)\}$，其中 $f_i$ 为定义矩阵 $A$ 的特征多项式的首一不可约因式。
• 算术度的集合是有限的，由1及 $\det(A - tI)$ 的不可约因式之谱半径构成，从而在toric情形下证明了Silverman猜想的第(1)、(2)、(3)部分。
• 动力Mordell-Lang猜想对toric代数簇上的单式映射成立：对于任意闭子簇 $Y \subset X$，集合 $\{k \in \mathbb{N} \mid \varphi^k(P) \in Y\}$ 是有限个等差数列的并集。
• 映射 $\varphi$ 的预周期点在闭不可约子簇 $Y \subset X_{\varphi}$ 中Zariski稠密，当且仅当 $Y \cap O_\sigma$ 在商映射 $\pi: O_\sigma \to O_\sigma / G_\sigma$ 下的像为商torus中代数子群的扭平移。
• 对于toric代数簇上的单式映射 $\varphi$，其预周期点集合为不交并 $\bigsqcup G_\sigma^{\mathrm{div}}$，其中 $G_\sigma$ 为 $\mathbb{T}$-轨道 $O_\sigma$ 的连通代数子群。
• 具有Zariski稠密预周期点的子簇的刻画可约化为Laurent定理：此类子簇对应于商torus $O_\sigma / G_\sigma \cong \mathbb{G}_m^{d-\ell}$ 中的扭平移。