[论文解读] On the asymptotic Plateau's problem for CMC hypersurfaces in hyperbolic space

Jaime Ripoll|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文通过证明在极限情况下水平图的渐近边界数据存在完整、恰当嵌入的常平均曲率（CMC）$ H $超曲面（$|H|<1$），将双曲空间中常平均曲率（CMC）超曲面的渐近Plateau问题进行了扩展。利用Killing图上的Perron方法，建立了在理想边界处的存在性与连续性，将Guan-Spruck关于径向图的结果推广至抛物（水平）情形，其中渐近数据收敛于无穷远处的一点。

ABSTRACT

It is extended a result due to B. Guan and J. Spruck on the asymptotic Plateau's problem for CMC radial graphs in hyperbolic space to horizontal CMC graphs.

研究动机与目标

• 将双曲空间中CMC超曲面的渐近Plateau问题从径向图扩展至水平图的极限情形。
• 建立完整、恰当嵌入的CMC $ H $超曲面（$|H|<1$）的存在性，其渐近边界数据包含一个无穷远处的点。
• 通过将Perron方法应用于Killing图上的CMC方程，统一径向图与水平图的存在性证明。
• 将Guan-Spruck关于径向图的结果推广至抛物（水平）情形，其中渐近边界包含单个无穷远处的点。

提出的方法

• 在双曲空间中对Killing图应用Perron方法，利用次解与超解构造解，以求解CMC方程。
• 利用理想边界$\partial_{\infty}\mathbb{H}^{n+1}$的共形结构，将星形条件重新表述为涉及通过两点的圆的几何约束。
• 通过CMC超曲面与全测地子流形的迭代下降，构造次解序列$\sigma_k$与超解序列$w_k$。
• 将超曲面$S$定义为在全测地$\mathbb{H}^n$上的Killing图，其Killing场$Y$的流在无穷远处的某点$p$处消失。
• 利用最大值原理证明解的唯一性，并在抛物情形下证明图函数连续延拓至$\partial_{\infty}\mathbb{H}^n \setminus \{p\}$。
• 依赖文献[7]中的定理1与定理2，以验证Killing图上CMC PDE解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将双曲空间中CMC径向图的存在性结果推广至水平图的极限情形？
• RQ2 渐近边界$\Gamma \subset \partial_{\infty}\mathbb{H}^{n+1}$需满足何种几何条件，才能保证存在完整、恰当嵌入的CMC $ H $超曲面（$|H|<1$）？
• RQ3 当径向图情形中定义的两个点在无穷远处重合为一点时，渐近边界行为如何变化？
• RQ4 Perron方法能否被调整以证明双曲空间中水平CMC图在理想边界处的存在性与连续性？

主要发现

• 对于双曲空间上半空间模型中任意有界$C^0$图$\Gamma$（定义于$\{x_1=0, x_{n+1}=0\}$），以及任意$|H|<1$，存在一个完整、恰当嵌入的CMC $H$超曲面$S$在$\mathbb{H}^{n+1}$中，满足$\partial_{\infty}S = \Gamma \cup \{x_{n+1} = +\infty\}$。
• 超曲面$S$是全测地超曲面$\mathbb{H}^n = \{x_1 = 0\}$上的水平图，对应于一个其轨道为阿基米德螺线的抛物Killing场。
• 解函数$u$连续延拓至$\partial_{\infty}\mathbb{H}^n \setminus \{p\}$，其中$p$是与阿基米德螺线流对应的无穷远处的点。
• 通过Perron方法统一并简化了存在性证明，该框架同时适用于径向图与水平图情形。
• 解的唯一性由应用于Killing图上CMC方程的最大值原理得出。
• 该结果通过将径向图情形中两个定义点在无穷远处重合为单一点的极限过程，推广了Guan-Spruck关于径向图的定理。