[论文解读] On the category of stratifolds

Toshiki Aoki, Katsuhiko Kuribayashi|arXiv (Cornell University)|May 13, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文证明了分层流形的范畴完全忠实嵌入到 ℝ-代数的范畴中，推广了光滑流形的经典结果。它证明了分层流形的 Serre-Swan 型定理，表明分层流形上的向量丛与该流形的全局截面代数上的有限生成投射模等价，其对应的仿射概形通过其实代数谱捕捉了分层流形的几何结构。

ABSTRACT

Stratifolds are considered from a categorical point of view. We show among others that the category of stratifolds fully faithfully embeds into the category of ${\mathbb R}$-algebras as does the category of smooth manifolds. We prove that a variant of the Serre-Swan theorem holds for stratifolds. In particular, the category of vector bundles over a stratifold is shown to be equivalent to the category of vector bundles over an associated affine scheme although the latter is in general larger than the stratifold itself.

研究动机与目标

• 将光滑流形到 ℝ-代数范畴的完全忠实嵌入推广到分层流形的范畴。
• 为分层流形建立 Serre-Swan 定理，将向量丛与它们的全局截面代数上的投射模联系起来。
• 通过其实代数谱和仿射概形结构表征分层流形，表明实代数谱可作为环层空间恢复原始分层流形。
• 为与导出微分几何相容的分层流形提供层论框架。

提出的方法

• 将分层流形定义为一个拓扑空间 $S$，配备一个实值连续函数的子代数 ${\mathcal{C}}$，该代数局部可检测且对光滑运算封闭。
• 证明映射 $F(S,{\mathcal{C}}) = {\mathcal{C}}$ 给出从分层流形范畴到 ℝ-代数范畴的完全忠实函子。
• 将分层流形的实代数谱定义为对应于点处取值泛函的素理想子空间，并证明其与底层空间同胚。
• 构造与结构层全局截面相关的仿射概形，并证明其在实代数谱上的限制作为环层空间同构于原始分层流形。
• 通过局部平凡性与局部收缩的相容性定义分层流形上的向量丛，确保在各层上光滑。
• 通过证明分层流形上向量丛的范畴与该流形的 ℝ-代数上的有限生成投射模的范畴等价，从而证明 Serre-Swan 定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 分层流形的范畴是否完全忠实嵌入到 ℝ-代数范畴中，类似于光滑流形的情形？
• RQ2 能否为分层流形建立 Serre-Swan 定理，将向量丛与它们的函数代数上的投射模联系起来？
• RQ3 分层流形的函数代数的实代数谱是否同胚于其底层拓扑空间？
• RQ4 与分层流形结构层全局截面相关的仿射概形如何与原始分层流形相关联？
• RQ5 分层流形的态射能否通过局部数据刻画，并在微分空间范畴中描述？

主要发现

• 通过全局截面函子，分层流形的范畴完全忠实嵌入到 ℝ-代数的范畴中，推广了光滑流形的结果。
• 分层流形上连续函数代数的实代数谱同胚于该分层流形的底层拓扑空间。
• 与分层流形结构层全局截面相关的仿射概形在实代数谱上的限制，作为环层空间同构于原始分层流形。
• 分层流形上存在 Serre-Swan 定理：分层流形上的向量丛范畴与该流形的 ℝ-代数上的有限生成投射模范畴等价。
• 通过在各层上光滑且与局部收缩相容定义的两个分层流形的积，在分层流形范畴中构成笛卡尔积。
• 分层流形的态射可通过局部数据刻画，并可在微分空间范畴中描述，其对角映射与积映射均为态射。