[论文解读] A model 2-category of enriched combinatorial premodel categories

Reid William Barton|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文在可tractable对称单幕模型范畴V-丰富化的组合预模型范畴2-范畴上构建了一个模型2-范畴结构，通过证明模型范畴的2-范畴缺乏拉回，因此无法支持模型2-范畴结构，从而解决了同伦理论中的一个基础性问题。关键贡献在于引入了预模型范畴——具有两个嵌套弱因子分解系统的范畴——并构建了一个具有良好性质的2-范畴V CPM，其包含所有极限、余极限和张量积，通过Quillen等价和纤维化实现同伦理论。

ABSTRACT

In his book on model categories, Hovey asked whether the 2-category $\mathbf{Mod}$ of model categories admits a "model 2-category structure" whose weak equivalences are the Quillen equivalences. We show that $\mathbf{Mod}$ does not have pullbacks and so cannot form a model 2-category. This lack of pullbacks can be traced to the two-out-of-three axiom on the weak equivalences of a model category. Accordingly, we define a premodel category to be a complete and cocomplete category equipped with two nested weak factorization systems. Combinatorial premodel categories form a complete and cocomplete closed symmetric monoidal 2-category $\mathbf{CPM}$ whose tensor product represents Quillen bifunctors. For a monoidal combinatorial premodel category $V$, the 2-category $V\mathbf{CPM}$ of $V$-enriched combinatorial premodel categories is simply the category of modules over $V$ (viewed as a monoid object of $\mathbf{CPM}$), and therefore inherits the algebraic structure of $\mathbf{CPM}$. The homotopy theory of a model category depends in an essential way on the weak equivalences, so it does not extend directly to a general premodel category. We develop a substitute homotopy theory for premodel categories satisfying an additional property which holds automatically for model categories and also for premodel categories enriched in a monoidal model category. In particular, for a monoidal model category $V$, we obtain a notion of Quillen equivalence of $V$-premodel categories which extends the one for $V$-model categories. When $V$ is a tractable symmetric monoidal model category, we construct a model 2-category structure on $V\mathbf{CPM}$ with these Quillen equivalences as the weak equivalences, by adapting Szumiło's construction of a fibration category of cofibration categories.

研究动机与目标

• 解决模型范畴（Mod）的2-范畴缺乏拉回，因此无法支持模型2-范畴结构这一基础性问题。
• 提出预模型范畴作为模型范畴的推广，保留代数结构的同时避免阻碍Mod中极限存在的两两取三公理。
• 在V CPM——即组合V-预模型范畴的2-范畴——上构建模型2-范畴结构，其中V为可tractable对称单幕模型范畴。
• 在附加公理下定义预模型范畴的同伦理论，当在单幕模型范畴中丰富时，该公理自动成立。
• 证明V CPM继承了CPM（即组合预模型范畴的2-范畴）的代数结构，并支持以Quillen等价为弱等价的完整模型2-范畴结构。

提出的方法

• 将预模型范畴定义为具有两个嵌套弱因子分解系统的完备且余完备范畴，通过放弃两两取三公理，推广模型范畴。
• 将组合预模型范畴定义为具有小秩生成协纤维和平凡协纤维集合的预模型范畴，以确保良好的集合论控制。
• 构建组合预模型范畴的2-范畴CPM，其包含所有极限和余极限，以及与内部Hom相伴的张量积，从而支持丰富范畴论。
• 将Szumiło的纤维化范畴构造方法适配，为可tractable对称单幕模型范畴V在V CPM上定义模型2-范畴结构。
• 引入小对象构造的技术变体——“大号小对象构造”——基于组合性秩分析，以在V CPM中构造因子分解。
• 利用映射路径范畴构造和驯服-饱和因子分解，验证（协纤维，纤维化∩弱等价）与（协纤维∩弱等价，纤维化）构成弱因子分解系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 模型范畴的2-范畴能否支持以Quillen等价为弱等价的模型2-范畴结构？
• RQ2 模型范畴的2-范畴中丧失了哪些结构特性，导致其无法成为模型2-范畴？
• RQ3 预模型范畴——具有两个嵌套弱因子分解系统的范畴——能否作为合适的推广，以恢复极限与代数结构？
• RQ4 当V为可tractable对称单幕模型范畴时，组合V-预模型范畴的2-范畴（V CPM）是否具有模型2-范畴结构？
• RQ5 如何为预模型范畴定义同伦理论？在何种条件下，该理论可扩展经典模型范畴的同伦理论？

主要发现

• 本文通过反例证明，模型范畴的2-范畴Mod缺乏拉回，因此无法成为模型2-范畴。
• 组合预模型范畴的2-范畴CPM包含所有小极限和余极限，支持与内部Hom相伴的张量积，使其成为一个具有良好性质的2-多重范畴。
• 对于可tractable对称单幕模型范畴V，组合V-预模型范畴的2-范畴V CPM支持以Quillen等价为弱等价、协纤维为协纤维、纤维化为纤维化的模型2-范畴结构。
• 在V CPM中，一个“共聚的内射”（内射协纤维）被表征为既是协纤维又是弱等价的态射，其满足通过重取论证的重取公理。
• 通过使用路径范畴因子分解和映射路径范畴构造，任一在纤维化对象之间的态射可被分解为一个Quillen等价后接一个纤维化，从而确认了所需因子分解系统的存在。
• 基于组合性秩分析的大号小对象构造，克服了集合论障碍，使V CPM中能够实现因子分解，从而解决了关键的技术挑战。