[论文解读] On the Correspondence between Supersingular Elliptic Curves and maximal quaternionic Orders

Juan Marcos Cerviño|ArXiv.org|Apr 29, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文提出了一种确定性算法，用于计算在素数特征有限域代数闭包上超奇异椭圆曲线的自同态环。通过在超奇异椭圆曲线与四元数代数 $Χ_{∞,p}$ 中的最大序之间建立显式对应关系，该方法利用判别式为 $-p$ 的三元二次型，算法化地确定自同态环张量 $ℚ$ 的一组基，从而实现同构意义下的完全分类。

ABSTRACT

We present a deterministic and explicit algorithm to compute the endomorphism rings of supersingular elliptic curves. As an example we compute the endomorphism rings of all supersingular elliptic curves defined over characteristic p=29,...,97.

研究动机与目标

• 在 $¯{\mathbb{F}_p}$ 上的超奇异椭圆曲线与四元数代数 $ℝ_{∞,p}$ 中的最大序之间建立构造性且显式的对应关系。
• 为任意素数 $p$ 提供一种确定性算法，计算 $¯{\mathbb{F}_p}$ 上所有超奇异椭圆曲线及其自同态环基的完整列表。
• 通过计算由算法生成的新表格，推广戴尤林的经典自同态环表，列出超奇异曲线及其对应的极大四元数序。

提出的方法

• 该算法利用布兰特-索恩对应关系，该关系在判别式为 $-p$ 的三元正定整系数二次型的同构类与 $ℝ_{∞,p}$ 中极大序的同构类型之间建立双射。
• 每种此类二次型以西伯记法表示为 $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{22}&a_{33}\\ a_{23}&a_{13}&a_{12}\\ &&τ\end{pmatrix}$，并用于构造 $ℝ_{∞,p}$ 中对应的极大序。
• 该构造利用偶数克利福德代数，将每个三元型与一个极大序关联，从而实现自同态环结构的显式计算。
• 对于每个极大序，该算法计算自同态环 $\operatorname{End}_{¯{\mathbb{F}_p}}(E) \otimes \mathbb{Q}$ 的 $\mathbb{Z}$-基 $\{1, e_1, e_2, e_3\}$，提供该环的显式表示。
• 该方法依赖于 $ℝ_{∞,p}$ 的类型数 $t_p$ 与类数 $h_p$ 的有限性，确保算法终止并枚举所有同构类。
• 最终输出为 $¯{\mathbb{F}_p}$ 上的超奇异曲线 $E$ 表格，每个曲线均配以其在 $ℚ$ 上的自同态代数基，类似于戴尤林的原始表格。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以确定性且显式的方式算法化计算 $¯{\mathbb{F}_p}$ 上超奇异椭圆曲线的自同态环？
• RQ2 在 $¯{\mathbb{F}_p}$ 上的超奇异椭圆曲线同构类与四元数代数 $ℝ_{∞,p}$ 中极大序之间，存在何种精确对应关系？
• RQ3 戴尤林建立的经典对应关系能否通过三元二次型实现算法化与计算有效化？
• RQ4 每个超奇异曲线的自同态代数 $\operatorname{End}_{¯{\mathbb{F}_p}}(E) \otimes \mathbb{Q}$ 的结构是什么？其如何从曲线的不变量计算得出？

主要发现

• 该算法成功地为每个素数 $p$ 计算了 $¯{\mathbb{F}_p}$ 上所有超奇异椭圆曲线的完整列表（同构意义下），并给出了其自同态环张量 $ℚ$ 的 $\mathbb{Z}$-基。
• 在 $¯{\mathbb{F}_p}$ 上的超奇异椭圆曲线同构类的数量等于四元数代数 $ℝ_{∞,p}$ 的类型数 $t_p$，确认了二者之间的一一对应关系。
• 对于 $p = 31$，该算法识别出 3 个同构类，其自同态环类型对应三元型 $\begin{pmatrix}1&2&4\\1&0&0\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&2&5\\2&0&1\\&&2\end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix}1&1&8\\0&1&0\\&&4\end{pmatrix}$。
• 对于 $p = 47$，该算法计算出 5 个同构类，其自同态环类型与以下形式匹配：$\begin{pmatrix}1&2&7\\0&1&1\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&2&6\\1&0&0\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&3&4\\1&0&0\\&&2\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix}1&1&12\\0&1&0\\&&4\end{pmatrix}$ 与 $\begin{pmatrix}1&1&16\\0&1&1\\&&6\end{pmatrix}$。
• 该方法生成了一张类似于戴尤林的表格，但为算法生成，涵盖 $p$ 至 97 的条目，展示了 $p$、同构类数量与对应三元型之间的对应关系。
• 该算法确认了 $ℝ_{∞,p}$ 的类数 $h_p$ 在所有极大序中保持恒定，且类型数 $t_p$ 与超奇异曲线数量一致，验证了理论上的对应关系。