[论文解读] On the CR Poincaré-Lelong equation, Yamabe steady solitons and structures of complete noncompact Sasakian manifolds

Der‐Chen Chang, Shu-Cheng Chang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 3

一句话总结

该论文通过在体积衰减和积分条件下求解CR泊松方程，建立了在具有非负伪Hermitian双截面曲率且挠率消失的完备非紧致严格伪凸CR流形上CR Poincaré-Lelong方程的可解性。关键结果是对解的逐点梯度估计，从而实现了CR Yamabe稳态孤立子的分类以及Sasakian流形的结构结果。

ABSTRACT

In this paper, we solve the so-called CR Poincaré-Lelong equation by solving the CR Poisson equation on a complete noncompact CR $(2n+1)$-manifold with nonegative pseudohermitian bisectional curvature tensors and vanishing torsion which is an odd dimensional counterpart of Kähler geometry. With applications of this solution plus the CR Liouvelle property, we study the structures of complete noncompact Sasakian manifolds and CR Yamabe steady solitons.

研究动机与目标

• 在具有非负伪Hermitian双截面曲率且挠率消失的完备非紧致严格伪凸CR流形上，建立CR Poincaré-Lelong方程的可解性。
• 通过在体积衰减和积分条件下求解CR泊松方程，将Kähler几何中的Mok-Siu-Yau型定理推广至CR情形。
• 将解应用于研究完备非紧致Sasakian流形的结构，并对CR Yamabe稳态孤立子进行分类。
• 利用次黎曼几何和曲率假设，推导CR泊松方程解的逐点梯度估计。
• 证明CR Liouville性质，作为分析此类流形上调和函数和孤立子结构的工具。

提出的方法

• 在具有非负伪Hermitian Ricci曲率且挠率消失的完备非紧致严格伪凸CR $(2n+1)$-流形上求解CR泊松方程 $\Delta_b u = f$。
• 对测地球上 $f$ 的平均值施加积分衰减条件：$\int_0^\infty k(t)dt < \infty$ 且 $\int_0^t s k(x,s) ds \leq h(t)$，其中 $h(t) = o(t)$。
• 利用水平Hessian和接触分布 $\mathcal{D}$ 上的联络形式定义次Laplacian $\Delta_b$。
• 应用Carnot-Carathéodory距离和体积增长，定义测地球 $B_x(t)$ 上的平均函数 $k_f(x,t)$。
• 以 $k(t)$ 的积分形式导出解 $u$ 的逐点上界和下界，其中涉及依赖于 $n$ 和 $\varepsilon$ 的常数。
• 利用协变导数的交换关系和曲率分量控制高阶导数，确保解的正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非负伪Hermitian双截面曲率且挠率消失的完备非紧致严格伪凸CR流形上，CR泊松方程 $\Delta_b u = f$ 在何种条件下存在解？
• RQ2 对 $f$ 的体积衰减和积分条件如何影响CR泊松方程解的存在性及逐点有界性？
• RQ3 具有非负伪Hermitian双截面曲率且挠率消失的完备非紧致Sasakian流形具有何种结构性质？
• RQ4 在曲率和体积增长假设下，CR Yamabe稳态孤立子能否被分类？
• RQ5 CR Liouville性质在刻画此类流形上调和函数和孤立子结构中起何种作用？

主要发现

• 在条件 $\int_0^\infty k(t)dt < \infty$ 和 $\int_0^t s k(x,s) ds \leq h(t)$ 且 $h(t) = o(t)$ 下，CR泊松方程 $\Delta_b u = f$ 存在解。
• 建立了对解 $u$ 的逐点梯度估计：$u(x)$ 的上界和下界由涉及依赖于 $n$ 的常数 $\alpha_1, \beta_i$ 的 $k(t)$ 积分表达。
• 若 $f$ 的衰减速率快于 $r^{-1}$，则CR泊松方程存在解，如推论1.1所示。
• CR泊松方程的解可用来证明有界调和函数的CR Liouville性质。
• 所得结果导致对具有非负伪Hermitian双截面曲率的完备非紧致Sasakian流形上CR Yamabe稳态孤立子的分类。
• 具有非负伪Hermitian双截面曲率且挠率消失的完备非紧致Sasakian流形的结构受CR Poincaré-Lelong方程解理论的约束。