[论文解读] On the distance between probability density functions

Vlad Bally, Lucia Caramellino|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文利用Malliavin-Sobolev范数，建立了Wiener空间上泛函与Poisson点过程的概率密度函数之间的距离界。证明了在高阶Malliavin-Sobolev空间中一致有界的序列的分布收敛性可推出总体变差距离的收敛性，同时给出了密度导数的额外正则性结果，并基于Malliavin协方差矩阵提出了一个绝对连续性的判别准则。

ABSTRACT

We give estimates of the distance between the densities of the laws of two functionals $F$ and $G$ on the Wiener space in terms of the Malliavin-Sobolev norm of $F-G.$ We actually consider a more general framework which allows one to treat with similar (Malliavin type) methods functionals of a Poisson point measure (solutions of jump type stochastic equations). We use the above estimates in order to obtain a criterion which ensures that convergence in distribution implies convergence in total variation distance; in particular, if the functionals at hand are absolutely continuous, this implies convergence in $L^{1}$ of the densities.

研究动机与目标

• 通过Malliavin微积分方法，推导Wiener空间上泛函与Poisson过程的概率密度函数之间距离的估计。
• 建立分布收敛性蕴含总体变差距离收敛性的条件。
• 基于Malliavin微积分，提供密度存在性与正则性的判别准则，连接Bouleau-Hirsch准则与经典Malliavin准则。
• 通过积分公式的一般抽象框架，将这些结果推广至跳跃型随机微分方程。
• 通过一个具有跳跃的连续时间马尔可夫过程的具体例子，展示该框架的适用性。

提出的方法

• 基于有限维噪声泛函的分部积分公式，构建一个抽象的Malliavin型框架，推广经典Wiener空间微积分。
• 应用 $ F - G $ 的Malliavin-Sobolev范数，估计 $ F $ 与 $ G $ 的密度之间的 $ L^1 $-距离，且常数与噪声维数无关。
• 在非高斯、跳跃扩散背景下，推广Riesz变换与分部积分公式。
• 通过Malliavin协方差矩阵 $ \sigma_F $ 的最小特征值的下界，建立非退化条件，确保绝对连续性。
• 将该框架应用于具有跳跃强度的随机过程 $ \overline{X}_t^M $，使用时间改变的Poisson过程与权函数 $ \pi_{k,r} $。
• 利用文献[4]中关于过程及其导数的矩估计，并证明逆正切流 $ \widehat{Y}_t^M $ 的一致有界性，从而在极限下保证非退化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ d $-维泛函序列的分布收敛性可推出总体变差距离的收敛性？
• RQ2 如何利用 $ F - G $ 的Malliavin-Sobolev范数来控制其概率密度函数之间的 $ L^1 $-距离？
• RQ3 Malliavin协方差矩阵 $ \sigma_F $ 在确保 $ F $ 的分布绝对连续性与正则性方面起何作用？
• RQ4 该框架能否推广至Wiener空间之外，以包含跳跃型过程，如带Poisson噪声的SDE解？
• RQ5 在何种条件下，密度函数的导数会与分布本身一同收敛？

主要发现

• 在弱非退化条件（2.33）下，若序列 $ F_n $ 在所有 $ p \geq 1 $ 下有界于 $ \mathbb{D}^{3,p} $，则其分布收敛性蕴含总体变差距离收敛性。
• 若 $ F_n \to F $ 在 $ L^2 $ 中收敛，且在 $ \mathbb{D}^{3,p} $ 中有界，且几乎必然满足 $ \det \sigma_F > 0 $，则 $ F_n \to F $ 在总体变差距离下收敛。
• 对于 $ F \in \mathbb{D}^{2,p} $ 且 $ p > d $，若 $ \mathbb{P}(\det \sigma_F > 0) > 0 $，则 $ F $ 的分布条件于 $ \{\sigma_F > 0\} $ 时是绝对连续的，且其密度是下半连续的。
• 密度在Lebesgue测度意义下局部有下界，意味着局部绝对连续性与正则性。
• 在跳跃型SDE的例子中，通过加权跳跃强度之和的下界确保非退化性，且满足 $ \mathbb{P}(\text{det} \sigma_{\overline{X}_t^M} \leq \varepsilon) \to 0 $ 当 $ \varepsilon \to 0 $，且对所有 $ M $ 一致成立。
• 在具有强度调制跳跃的连续时间马尔可夫过程的具体例子中，验证了收敛性准则，当 $ \theta > 0 $ 且 $ p < \theta t $ 时，非退化条件成立。