[论文解读] On the dynamics of floating structures

David Lannes|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文通过将内部流体压力视为可压缩-不可压缩系统中的拉格朗日乘子，提出了一种浮体动力学的新公式，实现了对水动力力和附加质量效应的显式计算。该方法重构了水波问题，避免了传统基于势函数方法的稳定性问题，并在一维情况下获得解析解，数值格式通过与显式平衡恢复解的对比得到验证。

ABSTRACT

The goal of this talk is to derive some equations describing the interaction of a floating solid structure and the surface of a perfect fluid. This is a double free boundary problem since in addition to the water waves problem (determining the free boundary of the fluid region), one has to find the evolution of the contact line between the solid and the surface of the water. The so-called floating body problem has been studied so far as a three-dimensional problem. Our first goal is to reduce it to a two-dimensional problem that takes the form of a coupled compressible-incompressible system. We will also show that the hydrodynamic forces acting on the solid can be partly put under the form of an added mass-inertia matrix, which turns out to be affected by the dispersive terms of the equations.

研究动机与目标

• 解决基于速度势公式的传统浮体模拟中存在的不稳定性和复杂性问题。
• 通过将内部压力视为拉格朗日乘子，提出一种鲁棒且稳定的表面水波与浮体相互作用公式。
• 实现对水动力力和附加质量效应的显式计算，特别是在自由浮体情况下的应用。
• 将该公式推广至浅水和Boussinesq方程等简化渐近模型及其离散形式。
• 通过精确解（如恢复至平衡问题）对数值格式进行验证。

提出的方法

• 将水波问题表述为可压缩-不可压缩结构，其中内部压力作为由求解d维椭圆方程确定的拉格朗日乘子。
• 通过分解水动力力和力矩，显式展现附加质量效应，附加质量-惯性矩阵由边界值问题的解导出。
• 定义基本势函数Ψ(j)_I为涉及Dirichlet-to-Neumann算子G[ζ]的边界值问题的解，从而实现力的计算。
• 将该公式适配至非线性浅水和Boussinesq方程等简化模型，并在一维情况下构建简单且稳定的数值格式。
• 在惯性系和随体坐标系中实现该方法，其中随体坐标系使质量-惯性矩阵简化为时间不变形式。
• 通过分部积分和格林恒等式，从压力和速度势推导出力项，确保与牛顿定律的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在浮体问题中，如何将内部流体压力视为拉格朗日乘子以提高数值稳定性？
• RQ2 在自由浮体背景下，附加质量-惯性矩阵的显式结构是什么？
• RQ3 所提出的公式能否一致地推广至浅水和Boussinesq方程等简化渐近模型？
• RQ4 由此公式导出的数值格式与已知解析解相比表现如何？
• RQ5 新附加质量矩阵Ma[h, Ψ_I]与经典浅水近似Ma[h, Φ_I]之间存在何种关系？

主要发现

• 附加质量-惯性矩阵Ma[h, Ψ_I]通过涉及Dirichlet-to-Neumann算子的边界值问题的解显式导出，为传统基于伯努利方程的压力计算提供了一种稳定替代方法。
• 在一维情况下，水动力力和附加质量效应可显式计算，从而实现解析验证。
• 该方法成功避免了经典公式中速度势时间导数带来的稳定性问题。
• 该公式可推广至非线性浅水和Boussinesq方程等简化模型，并提出了保持一致性的离散数值格式。
• 随体坐标系下的公式使质量-惯性矩阵M0为时间不变，简化了长期模拟。
• 基于该格式的数值计算已通过精确解验证，包括在静水中从静止释放后恢复至平衡的体的恢复问题。