[论文解读] On the Erdos Discrepancy Problem

Ronan Le Bras, Carla P. Gomes+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2014

Mathematical Approximation and Integration参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文证明了任何长度至少为 127,646 的完全乘法序列，其不一致度必然至少为 4，从而证实了完全乘法序列在不一致度不超过 3 时的 Erdős 不一致度猜想。本文建立了紧致的下界，并通过归纳构造和优化技术，将已知的不一致度为 3 的最长序列长度从 17,000 扩展至 127,645。

ABSTRACT

According to the Erd˝ os discrepancy conjecture, for any infi nite ±1 sequence, there exists a homogeneous arithmetic progression of unbounded dis- crepancy. In other words, for any ±1 sequence (x1,x2,...) and a discrepancy C, there exist integers m and d such that | Pm=1 xi·d| > C. This is an 80-year-old open problem and recent development proved that this conjecture is true for dis- crepancies up to 2. Paul Erd˝ os also conjectured that this property of unbounded discrepancy even holds for the restricted case of completely multiplicative se- quences (CMSs), namely sequences (x1,x2,...) where xa·b = xa · xb for any a,b � 1. The longest CMS with discrepancy 2 has been proven to be of size 246. In this paper, we prove that any completely multiplicative sequence of size 127, 646 or more has discrepancy at least 4, proving the Erd˝ os discrepancy con- jecture for CMSs of discrepancies up to 3. In addition, we prove that this bound is tight and increases the size of the longest known sequence of discrepancy 3 from 17,000 to 127,645. Finally, we provide inductive construction rules as well a s streamlining methods to improve the lower bounds for sequences of higher dis- crepancies.

研究动机与目标

• 证实完全乘法序列在不一致度不超过 3 时的 Erdős 不一致度猜想。
• 确定完全乘法序列在不一致度为 3 时最大长度的最紧致下界。
• 通过归纳构造和优化技术，提升更高不一致度序列的已知下界。

提出的方法

• 采用归纳构造规则，系统地生成并验证完全乘法序列。
• 应用优化方法，剔除不可行序列，并在不一致度约束下优化序列长度。
• 使用计算验证，确认不存在长度为 127,646 或更长的完全乘法序列，其不一致度为 3。
• 分析齐次等差数列，以评估完全乘法序列中不一致度的增长。
• 基于先前结果，确立完全乘法序列在不一致度为 2 时的最大长度为 246。
• 通过证明长度为 127,646 或更大的序列必然超出不一致度 3，将不一致度 2 的边界扩展至不一致度 3。

实验结果

研究问题

• RQ1 不一致度为 3 的完全乘法序列的最大长度是多少？
• RQ2 对于完全乘法序列，不一致度为 4 时的 127,646 边界是否紧致？
• RQ3 归纳构造和优化方法能否显著提升更高不一致度序列的下界？
• RQ4 当不一致度被限制在 3 时，Erdős 不一致度猜想是否对完全乘法序列成立？
• RQ5 已知的最长不一致度为 3 的序列长度与先前的边界相比如何？

主要发现

• 完全乘法序列在不一致度为 2 时的最大长度被确认为 246。
• 任何长度为 127,646 或更大的完全乘法序列，其不一致度必然至少为 4，从而证明了不一致度不超过 3 时的猜想。
• 127,646 的边界是紧致的，意味着不存在更长的不一致度为 3 的序列。
• 已知的不一致度为 3 的完全乘法序列的最大长度已从 17,000 提升至 127,645。
• 归纳构造规则和优化方法能有效提升更高不一致度序列的下界。
• 结果证实了 Erdős 不一致度猜想在完全乘法序列中，不一致度不超过 3 时成立。