[论文解读] On the distribution of gaps between consecutive primes

J. Pintz|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文证明，对于某些缓慢增长的函数 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $，其中 $ g(n) = \frac{\log_2 n \log_4 n}{(\log_3 n)^2} $，$ d_n / f(n) $ 的极限点集包含一个区间 $[0, c_f] $；而对于增长足够快的此类函数序列，极限集为整个 $[0, \infty) $。该研究通过采用受 Maynard 关于有界间隔工作的启发的改进筛法，超越了 Erdős 的猜想，表明即使使用修改后的归一化函数 $ f(n) $，仍能捕捉到完整的素数间隔行为。

ABSTRACT

Erdös conjectured that the set J of limit points of d_n/logn contains all nonnegative numbers, where d_n denotes the nth primegap. The author proved a year ago (arXiv: 1305.6289) that J contains an interval of type [0,c] with a positive ineffective value c. In the present work we extend this result for a large class of normalizing functions. The only essential requirement is that the function f(n) replacing logn should satisfy f(n)<

研究动机与目标

• 研究 Erdős 猜想是否成立 —— 即 $ d_n / \log n $ 的极限点集为 $[0, \infty]$
• 确定 Erdős–Rankin 函数 $ g(n) $（用于界定大素数间隔）是否可用于归一化 $ d_n $，使得 $ d_n / f(n) $ 的极限集变为 $[0, \infty)$
• 将 Banks、Freiberg 和 Maynard 的方法扩展，证明对任意满足 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ 的函数 $ f(n) $，极限点集仍具有正测度
• 证明对于增长足够快的函数序列 $ f_i(n) $，所有但有限多个 $ f_i $ 均满足 $ J_{f_i} = [0, \infty) $
• 提出一种新的有效筛法版本，避免筛除特定平移，从而保留预期的素数 $ k $ 元组数量

提出的方法

• 采用受 Maynard 2014 年突破性工作启发的改进筛法，调整概率 $ \mu_{1,q}^*(a) $，以避免筛除会导致固定平移 $ h_i^* $ 被排除的素数 $ q $
• 对可能使 $ n + h_i^* \equiv 0 \mod q $ 的剩余类 $ a \mod q $ 施加零概率条件（6.16），确保 $ h_i^* $ 不被消除
• 通过 $ \alpha_{1,q}^* / \alpha_{1,q} $ 重新缩放剩余概率，以保持归一化，同时增加被选中素数的期望数量
• 应用该方法证明，对几乎所有满足 $ p_0 \notin \mathcal{H}^* $ 的素数 $ p_0 $，和 $ \sum_q \mu_{1,q}^*(p_0) \gg \delta \log k $ 仍保持较大，即使排除了 $ O(1) $ 项
• 利用每个 $ p_0 \equiv h_i^* \mod q $ 在 $[x/2, x] $ 中至多对一个 $ q $ 成立的事实，限制受影响项的数量
• 将该方法应用于满足 $ f_{i+1}/f_i \to \infty $ 的函数序列 $ f_i(n) $，证明除最多 98 个函数外，其余所有 $ f_i $ 均满足 $ J_{f_i} = [0, \infty) $

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 Erdős–Rankin 函数 $ g(n) $ 对素数间隔 $ d_n $ 进行归一化，使得 $ d_n / f(n) $ 的极限点集包含区间 $[0, c_f]$
• RQ2 对于哪些满足 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ 的函数 $ f(n) $，集合 $ J_f = \{ d_n / f(n) \}' $ 包含 $[0, c_f]$
• RQ3 原始的 Erdős 猜想 $ J_{\log n} = [0, \infty] $ 是否能通过使用缓慢变化的归一化函数 $ f(n) $ 获得近似或替代结果
• RQ4 Banks、Freiberg 和 Maynard 的方法是否可推广至满足 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ 的函数，同时保持正测度结果
• RQ5 能否使快速增长序列 $ \{f_i\} $ 中除有限多个外的所有函数满足 $ J_f = [0, \infty) $

主要发现

• 对于任意满足 (1.5) 且 $ f(n) \leq c_0 g(n) \log n $ 的趋于无穷的函数 $ f(n) $，存在一个无效常数 $ c_f $，使得 $[0, c_f] \subset J_f = \{ d_n / f(n) \}' $
• 对于任意满足 $ f_{i+1}/f_i \to \infty $ 的序列 $ \{f_i\} $，最多有 98 个函数 $ f_i $ 不满足 $ J_{f_i} = [0, \infty) $
• 该方法给出了 Maier 1981 年结果的新证明：$ \limsup_{h \to \infty} \frac{\min(d_{n+1}, \dots, d_{n+m})}{g(n) \log n} > 0 $
• 对于任意此类 $ f $，超过 2% 的所有非负实数属于 $ J_f $，扩展了 Banks、Freiberg 和 Maynard 的结果
• 通过设定 $ \lambda_{d_1,\dots,d_k,e_1,\dots,e_k} = 0 $ 若 $ q_0 \mid \prod (d_i e_i) $，构造了一种新的有效筛法版本，代价为损失 $ 1 + o(1) $
• 推论 1 表明，即使 $ f(n) $ 的选择满足 $ \eta(n) \log n \leq f(n) \leq \log n $ 对任意 $ \eta(n) \to 0 $，仍可能有 $ J_f = [0, \infty) $