[论文解读] On the Feigin-Tipunin conjecture

Shoma Sugimoto|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 45被引用 8

一句话总结

本文证明了关于单连通简单李代数 $\mathfrak{g}$ 和整数 $p \geq 2$ 关联的对数 $W$-代数 $W(p)_Q$ 的 Feigin-Tipunin 猜想。通过旗流形 $G/B$ 上的齐次向量丛的全局截面，作者建立了顶点算子代数同构 $H^0(\xi_0) \simeq W(p)_Q$，表明 $G$ 在 $W(p)_Q$ 上作用为自同构群，并实现了该代数及其模的完整几何实现。

ABSTRACT

We prove the Feigin-Tipunin conjecture on the geometric construction of the logarithmic W-algebras associated with a simply-laced simple Lie algebra and an integer p bigger than 2, and their modules.

研究动机与目标

• 证明关于任意单连通简单李代数 $\mathfrak{g}$ 和 $p \in \mathbb{Z}_{\geq 2}$ 的 Feigin-Tipunin 猜想，即对数 $W$-代数 $W(p)_Q$ 的几何构造。
• 在旗流形 $G/B$ 上的齐次向量丛的全局截面空间 $H^0(\xi_0)$ 与对数 $W$-代数 $W(p)_Q$ 之间建立顶点算子代数同构。
• 通过证明 $H^0(\xi_\lambda)$ 嵌入 $W(p)_\lambda$ 且在特定条件下同构，澄清 $W(p)_\lambda$ 的表示论结构。
• 证明 $\mathcal{W}_0$（$W(p)_Q$ 的顶点子代数）同构于水平为 $p - h^\vee$ 的主 $W$-代数 $\mathcal{W}^{p-h^\vee}(\mathfrak{g})$，且 $\mathcal{W}_0$ 是 $W(p)_Q$ 的 $G$-商环。

提出的方法

• 利用格点顶点代数 $V_{\sqrt{p}Q}$ 的不可约模，构造旗流形 $G/B$ 上的齐次向量丛 $\xi_\lambda = G \times_B V_{\sqrt{p}Q + \lambda}$。
• 定义全局截面空间 $H^0(\xi_\lambda)$，其从 $V_{\sqrt{p}Q}$ 继承顶点算子代数结构，并带有 $G$ 的作用。
• 使用在恒等元陪集 $\mathrm{id}B$ 处的取值映射 $\Phi_\lambda: H^0(\xi_\lambda) \to V_{\sqrt{p}Q + \lambda}$，并证明其为嵌入映射，且像位于窄筛选算子的核中。
• 通过取值映射 $\Phi_0$，证明 $H^0(\xi_0)$ 作为顶点算子代数同构于 $W(p)_Q$。
• 建立 $G \times \mathcal{W}_0$-模分解：$H^0(\xi_\lambda) \simeq \bigoplus_{\alpha \in P_+ \cap Q} \mathcal{R}_{\alpha + \hat{\lambda}} \otimes \mathcal{W}_{-\sqrt{p}\alpha + \lambda}$，其中 $\mathcal{R}_{\mu}$ 表示最高权为 $\mu$ 的不可约 $G$-模。
• 证明 $H^0(\xi_\lambda)$ 上的 $G$-作用诱导出 $W(p)_\lambda$ 的自同构，并且 $\mathcal{W}_0$ 是 $W(p)_Q$ 的 $G$-商环。

实验结果

研究问题

• RQ1 齐次向量丛在 $G/B$ 上的全局截面空间 $H^0(\xi_0)$ 是否作为顶点算子代数实现对数 $W$-代数 $W(p)_Q$？
• RQ2 当 $\lambda \in \Lambda$ 满足何种条件时，取值映射 $\Phi_\lambda: H^0(\xi_\lambda) \to W(p,\lambda)_Q$ 是同构？
• RQ3 顶点子代数 $\mathcal{W}_0 \subset W(p)_Q$ 是否同构于水平为 $p - h^\vee$ 的主 $W$-代数 $\mathcal{W}^{p-h^\vee}(\mathfrak{g})$？
• RQ4 $H^0(\xi_\lambda)$ 上的 $G$-模结构能否表示为不可约 $G$-模与 $\mathcal{W}_0$-模的张量积的直和？
• RQ5 $H^n(\xi_\lambda)$ 在 $n > 0$ 时是否为零，当 $\lambda$ 满足条件 $(\sqrt{p}\bar{\lambda} + \rho, \theta) \leq p$？

主要发现

• 取值映射 $\Phi_0: H^0(\xi_0) \to V_{\sqrt{p}Q}$ 是顶点算子代数的同构，因此 $H^0(\xi_0) \simeq W(p)_Q$。
• $G$ 通过 $H^0(\xi_0)$ 上的 $G$-作用在 $W(p)_Q$ 上作用为顶点算子代数自同构群。
• 对 $\lambda \in \Lambda$，映射 $\Phi_\lambda: H^0(\xi_\lambda) \to W(p,\lambda)_Q$ 是同构当且仅当 $\lambda$ 满足条件 (100)，该条件与权重条件 $(\sqrt{p}\bar{\lambda} + \rho, \theta) \leq p$ 相关。
• $G \times \mathcal{W}_0$-模同构 $H^0(\xi_\lambda) \simeq \bigoplus_{\alpha \in P_+ \cap Q} \mathcal{R}_{\alpha + \hat{\lambda}} \otimes \mathcal{W}_{-\sqrt{p}\alpha + \lambda}$ 成立，表明 $\mathcal{W}_0$ 是 $W(p)_Q$ 的 $G$-商环。
• $\mathcal{W}_0 \subset W(p)_Q$ 作为顶点子代数同构于水平为 $p - h^\vee$ 的主 $W$-代数 $\mathcal{W}^{p-h^\vee}(\mathfrak{g})$，如定理 1.2 所述。
• 当 $\lambda$ 满足 $(\sqrt{p}\bar{\lambda} + \rho, \theta) \leq p$ 时，$H^n(\xi_\lambda)$ 在 $n > 0$ 时为零，且 $H^0(\xi_\lambda)$ 的特征标公式由 $G$-特征标与 $\mathcal{W}_{p-h^\vee}(\mathfrak{g})$-模特征标的和给出。