[论文解读] On the H-almost ricci soliton

José N. V. Gomes, Qiaoling Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入了 h-几乎里奇孤立子（h-almost Ricci soliton），作为几乎里奇孤立子的推广，并证明：若紧致非平凡的 h-几乎里奇孤立子具有常数标量曲率且 h 的符号固定，则其必与标准球面等距。此外，本文还刻画了一类特殊的梯度 h-里奇孤立子，并在曲率与可积性条件下建立了非紧致情形的刚性结果。

ABSTRACT

We introduce the concept {\it $h$-almost Ricci soliton} which extends naturally the {\it almost Ricci soliton} by Pigola-Rigoli-Rimoldi-Setti and show that a compact nontrivial $h$-almost Ricci soliton of dimension no less than three with $h$ having defined signal and constant scalar curvature is isometric to a standard sphere with the potential function well determined. We also consider the {\it $h$-Ricci soliton} which is a particular case of the $h$-almost Ricci soliton and a generalization of the {\it Ricci soliton} and give characterizations for a special class of gradient $h$-Ricci solitons.

研究动机与目标

• 通过引入光滑函数 h，将几乎里奇孤立子的概念推广为 h-几乎里奇孤立子。
• 在常数标量曲率与 h 符号固定条件下，研究紧致 h-几乎里奇孤立子的几何刚性。
• 刻画一类特殊的梯度 h-里奇孤立子，并推导其与标准球面或双曲空间等距的条件。
• 在李导数与里奇张量迹部分 L¹ 可积性条件下，将刚性结果推广至非紧致 h-几乎里奇孤立子。

提出的方法

• 通过方程 $\mathrm{Ric}_g + \frac{h}{2}\mathcal{L}_X g = \lambda g$ 定义 h-几乎里奇孤立子，其中 $X$ 为向量场，$h$ 与 $\lambda$ 为光滑函数。
• 分析梯度情形，令 $X = \nabla u$，将方程简化为 $\mathrm{Ric} + h\nabla^2 u = \lambda g$。
• 在紧致流形上应用最大值原理技术，证明当 $\lambda \neq 0$ 时 $u$ 必为常数，从而导出标量曲率的约束条件。
• 利用散度恒等式与博赫纳型恒等式，推导涉及 $\lambda$、$u$ 与曲率项的微分恒等式。
• 通过 $L^1$-可积性与散度估计，证明在 $\mathcal{L}_X R \leq 0$ 条件下有 $\mathrm{div}(\mathring{\mathrm{Ric}}(X)) = 0$，从而推出爱因斯坦结构。
• 利用已知的共形向量场与度量 warped 乘积结构结果，对非紧致情形进行分类，根据 $u$ 的临界点区分双曲几何与伪双几何时空。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，紧致 h-几乎里奇孤立子与标准球面等距？
• RQ2 函数 $h$ 如何影响具有常数标量曲率的 h-几乎里奇孤立子的刚性？
• RQ3 对于常数 $\lambda$ 的梯度 h-里奇孤立子，可给出何种刻画？
• RQ4 当 $\mathcal{L}_X R \leq 0$ 且 $|\mathring{\mathrm{Ric}}(X)| \in L^1$ 时，非紧致 h-几乎里奇孤立子的几何结构为何？
• RQ5 势函数 $u$ 的临界点如何决定非紧致 h-里奇孤立子的等距类型？

主要发现

• 具有常数标量曲率且 $h$ 符号固定的紧致非平凡 h-几乎里奇孤立子必与标准球面 $S^n$ 等距。
• 若 $\lambda = 0$，当 $m \neq 2$ 时势函数 $u$ 必为常数；当 $m = 2$ 时，由于 $\int_M |\nabla u|^2 = 0$，$u$ 同样为常数。
• 当 $\lambda < 0$ 时，若 $u^2(p) \leq u^2(q)$，则 $u$ 必为常数，表明在负 $\lambda$ 条件下具有刚性。
• 在非紧致情形下，若 $\mathcal{L}_X R \leq 0$ 且 $|\mathring{\mathrm{Ric}}(X)| \in L^1$，则流形为爱因斯坦流形且 $R \leq 0$。
• 当 $R = 0$ 时，流形与 $\mathbb{R}^n$ 装备标准欧氏度量等距。
• 当 $R < 0$ 时，若 $u$ 有唯一临界点，则流形与双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 等距；若 $u$ 无临界点，则与伪双曲空间等距。