[论文解读] The k-almost Ricci solitons and contact geometry

Amalendu Ghosh, Dhriti Sundar Patra|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文研究了接触度量流形上的 $k$-近似里奇孤立子与 $k$-近似梯度里奇孤立子，特别是 $K$-接触和塞萨金结构。证明了若一个紧致 $K$-接触流形 admits 非平凡的 $k$-近似梯度里奇孤立子，则其等距微分同构于单位球面 $S^{2n+1}$，并进一步在势向量场与里布向量场共线的情况下扩展此结果，表明在额外对称性条件下，该流形为爱因斯坦流形且为塞萨金流形。

ABSTRACT

The aim of this article is to study the k-almost Ricci soliton and k-almost gradient Ricci soliton on contact metric manifold. First, we prove that if a compact K-contact metric is a k-almost gradient Ricci soliton then it is isometric to a unit sphere S2n+1. Next, we extend this result on a compact k-almost Ricci soliton when the flow vector field X is contact. Finally, we study some special types of k-almost Ricci soliton where the potential vector field X is point wise collinear with the Reeb vector field ξ of the contact metric structure.

研究动机与目标

• 研究 $k$-近似里奇孤立子与 $k$-近似梯度里奇孤立子在接触度量流形上的几何含义。
• 确定紧致 $K$-接触流形在存在此类孤立子时，必须等距微分同构于单位球面 $S^{2n+1}$ 的条件。
• 分析当势向量场在每一点与里布向量场 $\xi$ 共线时，$k$-近似里奇孤立子的结构。
• 将接触几何中关于梯度里奇孤立子的已知结果推广至广义的 $k$-近似情形。

提出的方法

• 在黎曼流形上使用 $k$-近似里奇孤立子的基本方程 $S + \frac{k}{2}\mathcal{L}_X g = \lambda g$。
• 应用 $k$-近似梯度里奇孤立子形式 $S + k\nabla^2 u = \lambda g$，其中 $u$ 为势函数。
• 利用接触度量流形上的曲率恒等式与对称性，包括里布向量场 $\xi$、张量 $h$ 与几乎复结构 $\varphi$。
• 应用散度定理并在紧致流形上积分，以推导张量 $h$ 的消失。
• 利用已知结果，如博耶-加利基的定理（关于紧致 $K$-接触爱因斯坦流形）以及迈耶斯定理（关于完备性）。
• 利用交换条件 $Q\varphi = \varphi Q$ 推导额外的曲率约束与对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个紧致 $K$-接触流形若 admits 非平凡的 $k$-近似梯度里奇孤立子，则其等距微分同构于单位球面 $S^{2n+1}$？
• RQ2 当 $k$-近似里奇孤立子的势向量场与里布向量场 $\xi$ 共线时，会形成何种几何结构？
• RQ3 $k$-近似里奇孤立子条件如何约束接触度量流形上的里奇曲率与数量曲率？
• RQ4 张量 $h$ 在决定流形的爱因斯坦性与塞萨金性方面起什么作用？
• RQ5 在对称性假设如 $Q\varphi = \varphi Q$ 下，$k$-近似里奇孤立子条件是否能推出 $K$-接触性与爱因斯坦结构？

主要发现

• 一个紧致 $K$-接触流形若 admits 非平凡的 $k$-近似梯度里奇孤立子，则其等距微分同构于单位球面 $S^{2n+1}$。
• 若势向量场 $X$ 与里布向量场 $\xi$ 共线，则该流形为爱因斯坦流形，其爱因斯坦常数为 $2n$。
• 通过对紧致流形上曲率方程的积分，可推出张量 $h$ 的消失，从而导致 $K$-接触结构。
• 在交换条件 $Q\varphi = \varphi Q$ 下，可证明流形为 $K$-接触且爱因斯坦，若其完备，则亦为塞萨金。
• 数量曲率 $r$ 为常数，且满足 $r = (2n+1)\lambda$，在爱因斯坦情形下 $\lambda = 2n$。
• 对等式 $\int k\rho^2 |h|^2 dM = 0$ 应用散度定理，当 $k > 0$ 且 $X \neq 0$ 时，强制 $h = 0$，从而推出 $K$-接触结构。