[论文解读] On the Height Profile of a Conditioned Galton-Watson Tree

Götz Kersting|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 22

一句话总结

本文建立了在稳定分布吸引域内的广义后代分布条件下，条件Galton-Watson树高度轮廓的函数极限定理。通过基于桥接-桥跃耦合与Skorohod收敛的新方法，将Aldous的猜想从有限方差情形推广至无限方差情形，证明在适当的缩放下，高度轮廓依分布收敛于归一化Lévy桥跃的泛函形式。

ABSTRACT

Drmota and Gittenberger (1997) proved a conjecture due to Aldous (1991) on the height profile of a Galton-Watson tree with an offspring distribution of finite variance, conditioned on a total size of $n$ individuals. The conjecture states that in distribution its shape, more precisely its scaled height profile coincides asymptotically with the local time process of a Brownian excursion of duration 1. We give a proof of the result, which extends to the case of an infinite variance offspring distribution. This requires a different strategy, since in the infinite variance case there is no longer a relationship to the local time of Brownian resp. Lévy excursions.

研究动机与目标

• 建立Galton-Watson树在大小为n的条件下高度轮廓的渐近形状，将先前结果从有限方差情形推广至更一般情形。
• 解决Aldous关于缩放后高度轮廓收敛于标准Brownian桥局部时的猜想，适用于无限方差后代分布情形。
• 为后代分布位于稳定分布吸引域（指数α ∈ (1,2]）时的条件Galton-Watson树收敛性建立一个通用框架。
• 提出一种新证明策略，避免依赖Brownian桥局部时，转而使用Lévy过程与桥接-桥跃变换。

提出的方法

• 采用函数极限定理方法，分析缩放后高度轮廓 $ H^n(u) = a_n^{-1} Z_{[nu/a_n]} $，其中 $ a_n $ 的选取使得 $ a_n^{-1}(\text{sum of } n \text{ i.i.d. offspring variables} - n) $ 依分布收敛。
• 应用Skorohod定理，假设缩放后的随机游动桥 $ S^n $ 几乎必然收敛于Lévy桥 $ X $，即一个在时间1被条件返回零的Lévy过程。
• 通过基于过程首次达到最小值的时间 $ T(f) $ 的循环移位变换，从Lévy桥 $ X $ 构造出归一化桥跃 $ Y $。
• 将高度轮廓 $ H $ 定义为归一化桥跃 $ Y $ 的泛函 $ \psi(Y) $，其中累积高度过程 $ C_u $ 定义为 $ C_u = \sup\{ s \leq 1 : \int_0^s \frac{dt}{Y_t} \leq u \} $。
• 利用在Skorohod拓扑下从桥接至桥跃的映射 $ f \mapsto \overline{f} $ 的连续性，依赖于最小值点的几乎必然唯一性及在该点的连续性。
• 通过证明相关桥接 $ S^n $ 收敛于 $ X $，且诱导的桥跃 $ \overline{S^n} $ 收敛于 $ \overline{X} = Y $，从而建立高度轮廓 $ H^n $ 收敛于 $ H = \psi(Y) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当后代分布具有无限方差时，条件Galton-Watson树的高度轮廓是否依分布收敛于Lévy桥跃的泛函形式？
• RQ2 Aldous关于缩放后高度轮廓收敛于Brownian桥局部时的猜想，能否从有限方差情形推广至无限方差情形？
• RQ3 当后代分布位于指数 $ \alpha \in (1,2) $ 的稳定分布吸引域时，高度轮廓的正确缩放 $ a_n $ 是什么？
• RQ4 在具有跳跃的Lévy过程背景下，桥接-桥跃变换如何严格成立？
• RQ5 高度轮廓的收敛性在Skorohod拓扑下的弱收敛下是否稳定？该变换是否保持连续性？

主要发现

• 大小为 $ n $ 的条件Galton-Watson树 $ CGW(n) $ 的高度轮廓 $ H^n $ 依分布收敛于 $ H = \psi(Y) $，其中 $ Y $ 是与后代分布同属一个吸引域的Lévy过程的归一化桥跃。
• 对于有限方差后代分布，$ a_n = \sigma n^{1/2} $，极限过程 $ H $ 的分布为归一化Brownian桥局部时的一半。
• 在无限方差情形下，极限过程 $ H $ 依然非退化，且来源于归一化Lévy桥跃，尽管其不对应于Brownian局部时。
• 收敛性在 cádlág 函数空间中依Skorohod $ J_1 $ 拓扑成立，确保了极限的路径稳定性。
• 通过首次最小值点实现的桥接至桥跃变换在Skorohod拓扑下是连续的，从而可将桥接的收敛性传递至桥跃。
• 极限过程 $ H $ 几乎必然非退化，即 $ \int_0^{0+} \frac{dt}{Y_t} < \infty $，因此对所有 $ u \in (0,h) $ 有 $ H_u > 0 $，且当 $ u \to h $ 时 $ C_u \to 1 $。