[论文解读] On the Picard group scheme of the moduli stack of stable pointed curves

Roberto Fringuelli, Filippo Viviani|arXiv (Cornell University)|May 14, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文计算了任意概形上稳定带标记曲线模堆栈的Picard群概形与Picard群，证明在基概形特征不为2或g ≤ 5的温和条件下，从自由阿贝尔群$Λ_{g,n}$到Picard群的典型同态是同构。关键结果是在特征≠2的域或g ≤ 5时，明确描述了$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k$与$\mathcal{M}_{g,n}^k$的Picard群，明确给出了生成元与关系式。

ABSTRACT

The aim of the present paper is to study the (abstract) Picard group and the Picard group scheme of the moduli stack of stable pointed curves over an arbitrary scheme. As a byproduct, we compute the Picard groups of the moduli stack of stable or smooth pointed curves over a field of characteristic different from two.

研究动机与目标

• 描述任意概形$S$上稳定$n$-点曲面的模堆栈$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S$的Picard群概形与Picard群。
• 确定相对Picard函子及其fppf层化结构，从而在$\mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$上诱导出群概形结构。
• 在基域的特征或亏格满足条件时，计算$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k$与$\mathcal{M}_{g,n}^k$的Picard群。
• 证明在给定假设下，典型同态$\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$是群概形的同构。
• 以群$\Lambda_{g,n}$为框架，统一描述典型线丛$\lambda$、$\delta_{a,A}$与$\psi_i$之间的关系。

提出的方法

• 定义由典型类$\lambda$、$\delta_{\text{irr}}$、$\delta_{a,A}$与$\psi_i$生成的阿贝尔群$\Lambda_{g,n}$，其关系式依$g$与$n$而定。
• 构造典型同态$\overline{P}_{g,n}: \Lambda_{g,n} \to \operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n})$，将生成元映射到对应的线丛。
• 通过$\overline{\phi}^*$将同态基变换到$S$，得到$\overline{P}_{g,n}(S)$及其相对版本$\overline{P}_{g,n}^{\text{rel}}(S)$。
• 经fppf层化后，得到典型$S$-态射$\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$，其为群概形同态。
• 利用形式形变理论与形式群性质，证明当$S$是$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/2]$上的概形或$g \leq 5$时，$\Phi^S_{g,n}$是同构。
• 利用形式GAGA与线丛提升的障碍理论，证明在所需情形下Picard函子的平坦性与可表示性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，典型同态$\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$是$S$上群概形的同构？
• RQ2 当域$k$满足$\text{char}(k) \neq 2$或$g \leq 5$时，Picard群$\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k)$的结构如何？
• RQ3 在$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k$的Picard群中，典型线丛$\lambda$、$\delta_{a,A}$与$\psi_i$之间的定义关系为何？
• RQ4 模堆栈$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S \to S$的相对Picard函子与常数群概形$\underline{\Lambda_{g,n}}_S$有何关系？
• RQ5 光滑带标记曲线的开子堆栈$\mathcal{M}_{g,n}^k$的Picard群是否由$\lambda$与$\psi_1, \dots, \psi_n$生成？它们之间的关系为何？

主要发现

• 当$S$是$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/2]$上的概形或$g \leq 5$时，典型同态$\Phi^S_{g,n}: \underline{\Lambda_{g,n}}_S \to \mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$是群概形的同构，从而完全刻画了Picard群概形。
• 对任意满足$\text{char}(k) \neq 2$或$g \leq 5$的域$k$，Picard群$\operatorname{Pic}(\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^k)$是有限秩的自由阿贝尔群，其生成元为典型类，关系式如(1.0.1)所示。
• $\mathcal{M}_{g,n}^k$的开子堆栈的Picard群$\operatorname{Pic}(\mathcal{M}_{g,n}^k)$由$\lambda$与$\psi_1, \dots, \psi_n$生成，关系式为：当$g=2$时$10\lambda = 0$；当$g=1$时$12\lambda = 0$且$\lambda = \psi_1 = \cdots = \psi_n$；当$g=0$时所有关系均为零。
• 在相同条件下，群概形$\mathbf{Pic}_{\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^S/S}$是可表示的，且同构于常数群概形$\underline{\Lambda_{g,n}}_S$。
• 证明依赖于形式形变理论、形式GAGA以及形式概形上线丛提升的障碍理论，特别使用了$\mathbb{G}_m$的完备化与上同调平坦性。
• 该结果推广了Fulton与Olsson对$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$的早期工作，将结果从椭圆曲线情形推广至所有$g,n$，仅在温和假设下成立。