[论文解读] On the polynomiality of orbifold Gromov--Witten theory of root stacks

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文证明了根叠层的高亏格扭转 Gromov–Witten 不变量关于根次数 $ r $ 是多项式，且当 $ g > 0 $ 时，其次数有界于 $ 2g-1 $。它给出了这些不变量与相对不变量相等的判别条件（即多项式为常数），并通过退化和虚拟局部化技术刻画了非平凡项的系数，将其与中心纤维和除子的不变量通过量子黎曼–罗赫定理和叠对偶性联系起来。

ABSTRACT

In \cite{TY18}, higher genus Gromov--Witten invariants of the stack of $r$-th roots of a smooth projective variety $X$ along a smooth divisor $D$ are shown to be polynomials in $r$. In this paper we study the degrees and coefficients of these polynomials.

研究动机与目标

• 确定根叠层的高亏格扭转 Gromov–Witten 不变量关于 $ r $ 的多项式最大次数。
• 识别扭转不变量与相对不变量相等的条件（即多项式为常数时）。
• 分析多项式中非平凡项系数的几何与上同调起源。
• 建立一个利用退化和虚拟局部化技术计算这些系数的框架。

提出的方法

• 应用退化公式，将根叠层 $ X_{D,r} $ 上稳定映射的模空间分解为分量 $ X $ 和 $ Y_{D_0,r} $。
• 使用虚拟局部化计算退化中不动点簇的贡献，特别关注亏格 $ g_1 > 0 $ 的分量。
• 通过量子黎曼–罗赫定理表达根叠丛 $ D_r $ 的扭曲 Gromov–Witten 不变量，将其与 $ D $ 的未扭曲不变量联系起来。
• 利用 Andreini–Jiang–Tseng 与 Tang–Tseng 的叠对偶性结果，将 $ D_r $ 的不变量与 $ D $ 的不变量联系起来。
• 通过分离满足 $ g_1 > g_0 $ 且 $ g_2 < g - g_0 $ 的项，分析多项式中 $ r^j $ 的系数，其中 $ j > 2g_0 - 1 $。
• 使用虚拟局部化公式，通过亏格与上同调权重的组合分裂，计算次数有界性和系数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 根叠层的高亏格扭转 Gromov–Witten 不变量关于 $ r $ 的多项式最大次数是多少？
• RQ2 在何种条件下扭转不变量等于相对不变量，即多项式为常数？
• RQ3 哪些几何或上同调数据决定了多项式中非平凡项的系数？
• RQ4 在退化下，多项式的系数如何与中心纤维和除子的不变量相关？

主要发现

• 当 $ g > 0 $ 时，多项式 $ r^{m_-} \langle \cdots \rangle^{X_{D,r}}_{g,\vec{k},n,d} $ 的次数有上界 $ 2g - 1 $。
• 当 $ g = 0 $ 时，不变量在 $ r $ 上为常数，因此多项式次数为零，扭转不变量与相对不变量重合。
• 当 $ g > 0 $ 时，多项式次数为零当且仅当不存在映射到中心纤维 $ D_0 $ 的高亏格稳定映射分量，即所有此类分量均为亏格零。
• 当 $ j > 0 $ 时，$ r^j $ 系数仅来自满足 $ g_1 > g_0 $ 且 $ g_2 < g - g_0 $ 的项，其中 $ j > 2g_0 - 1 $。
• 非平凡项的系数由 $ Y_{D_0,r} $ 的亏格 $ g_1 $ 不变量和 $ (X,D) $ 的亏格 $ g_2 $ 相对不变量决定，其中 $ g_1 > g_0 $ 且 $ g_2 < g - g_0 $。
• 通过量子黎曼–罗赫与叠对偶性，这些系数最终可表示为 $ D $ 和 $ D_r $ 的未扭曲不变量，而后者与 $ D $ 的不变量相关。