[论文解读] Curve counting in genus one: elliptic singularities & relative geometry

Luca Battistella, Navid Nabijou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文为非常 ample 对构造了约化、相对的亏格一 Gromov–Witten 不变量，通过椭圆奇点几何对模空间进行退化与去奇异化，推广了 Gathmann 的亏格零递归公式。核心贡献是建立了一套从相对到绝对的理论，将 Zinger 的约化不变量推广至亏格一，其应用涵盖稳定映射模空间的对数爆破。

ABSTRACT

We construct and study the reduced, relative, genus one Gromov--Witten theory of very ample pairs. These invariants form the principal component contribution to relative Gromov--Witten theory in genus one and are relative versions of Zinger's reduced Gromov--Witten invariants. We relate the relative and absolute theories by degeneration of the tangency conditions, and the resulting formulas generalise a well-known recursive calculation scheme put forward by Gathmann in genus zero. The geometric input is a desingularisation of the principal component of the moduli space of genus one logarithmic stable maps to a very ample pair, using the geometry of elliptic singularities. Our study passes through general techniques for calculating integrals on logarithmic blowups of moduli spaces of stable maps, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 为非常 ample 对构造约化、相对的亏格一 Gromov–Witten 不变量，作为亏格一相对理论中的主分量。
• 通过切触条件的退化，将相对不变量与绝对不变量关联，推广 Gathmann 的亏格零递归框架。
• 通过椭圆奇点几何对亏格一的对数稳定映射模空间进行去奇异化，研究其模空间。
• 发展计算稳定映射模空间对数爆破上积分的一般方法，适用于此特定情境之外的场景。

提出的方法

• 将约化、相对的亏格一不变量构造为亏格一相对 Gromov–Witten 理论中主分量的贡献。
• 使用退化技术将相对不变量与绝对不变量关联，推广 Gathmann 的亏格零递归方案。
• 通过椭圆奇点的几何性质对亏格一的对数稳定映射模空间进行去奇异化。
• 发展计算稳定映射模空间对数爆破上积分的一般方法，利用对数几何。
• 以 Zinger 的约化不变量为基础，将其扩展至相对与亏格一情形。
• 在对数稳定映射的框架内工作，系统地处理切触条件与边界行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地为非常 ample 对构造约化、相对的亏格一 Gromov–Witten 不变量？
• RQ2 切触条件的退化如何将相对亏格一不变量与绝对不变量关联？这一关联如何推广 Gathmann 的亏格零递归？
• RQ3 对亏格一的对数稳定映射模空间进行去奇异化在计算不变量中起到何种作用？
• RQ4 如何利用椭圆奇点的几何性质来解决对数稳定映射模空间主分量的奇点？
• RQ5 从该构造中涌现出哪些计算稳定映射模空间对数爆破上积分的一般技术？

主要发现

• 本文为非常 ample 对构造了约化、相对的亏格一 Gromov–Witten 不变量，确立了其作为亏格一相对理论中主分量贡献的地位。
• 推导出一个退化公式，将相对不变量与绝对不变量关联，将 Gathmann 的亏格零递归方案推广至亏格一。
• 通过椭圆奇点的几何性质对亏格一的对数稳定映射模空间进行去奇异化，使得不变量的计算成为可能。
• 发展了计算稳定映射模空间对数爆破上积分的一般方法，其潜在应用范围超出当前情境。
• 相对理论将 Zinger 的约化不变量扩展至亏格一，为该情境提供了其绝对不变量的相对版本。