[论文解读] On the probabilistic well-posedness of the nonlinear Schrödinger equations with non-algebraic nonlinearities

Tadahiro Oh, Mamoru Okamoto+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 42被引用 16

一句话总结

该论文通过在能量空间以下使用维纳随机化初始数据，建立了非代数非线性项下能量临界型非线性薛定谔方程在 $\mathbb{R}^d$（$d=5,6$）上的几乎必然局部与全局适定性。在散焦情形下证明了几乎必然全局存在性，并在聚焦、非规范不变情形下通过概率方法构造了有限时间爆破解，将适定性结果扩展至确定性临界正则性之外。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for the nonlinear Schrödinger equations (NLS) with non-algebraic nonlinearities on the Euclidean space. In particular, we study the energy-critical NLS on $\mathbb{R}^d$, $d=5,6$, and energy-critical NLS without gauge invariance and prove that they are almost surely locally well-posed with respect to randomized initial data below the energy space. We also study the long time behavior of solutions to these equations: (i) we prove almost sure global well-posedness of the (standard) energy-critical NLS on $\mathbb{R}^d$, $d = 5, 6$, in the defocusing case, and (ii) we present a probabilistic construction of finite time blowup solutions to the energy-critical NLS without gauge invariance below the energy space.

研究动机与目标

• 为解决在确定性意义下低于 $\dot{H}^1$-临界正则性 $s=1$ 时能量临界型NLS的不适定性问题。
• 通过概率方法将适定性结果推广至能量空间以下的初始数据。
• 在 $\mathbb{R}^d$，$d=5,6$ 上，对随机化初始数据建立散焦能量临界型NLS的几乎必然局部与全局适定性。
• 在能量空间以下，通过概率方法构造聚焦、非规范不变情形下能量临界型NLS的有限时间爆破解。
• 在非紧致欧几里得空间中，发展基于维纳随机化的概率适定性框架。

提出的方法

• 使用频率空间 $\mathbb{R}^d_\xi = \bigcup_{n\in\mathbb{Z}^d} (n + (-1/2,1/2]^d)$ 的维纳分解对初始数据进行随机化，采用独立复高斯系数。
• 对 $\phi \in H^s$，$s<1$，定义维纳随机化 $\phi^\omega = \sum_{n\in\mathbb{Z}^d} g_n(\omega) \psi(D - n)\phi$，其中 $\psi$ 为光滑单位分解。
• 在自适应函数空间 $X^s_T$ 与 $Y^s_T$ 中应用概率型Strichartz估计与非线性估计，以控制解映射。
• 在概率框架下使用压缩映射原理，证明散焦与非规范不变NLS的几乎必然局部适定性。
• 在散焦情形下，通过能量估计与扰动论证明长时间存在性。
• 通过分析随机化初始数据下解的 $L^2$-范数增长，结合爆破判据与先验估计，构造有限时间爆破解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在低于 $\dot{H}^1$-临界正则性 $s=1$ 的条件下，对具有非代数非线性项的能量临界型NLS建立几乎必然局部适定性？
• RQ2 在 $\mathbb{R}^d$，$d=5,6$ 上，对 $H^s$ 初始数据（$s<1$）的随机化初始数据，散焦能量临界型NLS的几乎必然全局适定性是否可能？
• RQ3 能否在能量空间以下，对无规范不变性的能量临界型NLS，通过概率方法构造有限时间爆破解？
• RQ4 维纳随机化如何在非紧致欧几里得空间中实现适定性结果，而经典傅里叶级数随机化因连续谱而失效？
• RQ5 在爆破情形下，最大存在时间对随机化初始数据大小的定量依赖关系如何？

主要发现

• 通过维纳随机化，对 $\mathbb{R}^d$，$d=5,6$ 上具有非代数非线性项的能源临界型NLS，建立了初始数据属于 $H^s$，$s<1$ 时的几乎必然局部适定性。
• 在散焦情形下，通过能量估计与长时间存在性论证，证明了 $\mathbb{R}^d$，$d=5,6$ 上随机化初始数据属于 $H^s$，$s<1$ 的几乎必然全局适定性。
• 在能量空间以下，对无规范不变性的能量临界型NLS，通过概率方法成功构造了有限时间爆破解，最大存在时间满足 $T^*(\alpha) \leq C'(R) \alpha^{4/(-d+2k+2)}$（$\alpha$ 较大时）。
• 爆破时间估计由先验估计与爆破判据导出，表明大尺寸的随机化初始数据以正概率导致有限时间爆破。
• 维纳随机化框架使得适定性结果可推广至 $\mathbb{R}^d$ 欧几里得空间，而经典傅里叶级数随机化因连续谱而失效。
• 结果对随机化选择具有鲁棒性，并在形式为 $\Omega_{R,\varepsilon}$ 的概率集合上一致成立，确保了几乎必然收敛与稳定性。