[论文解读] On the Quantum Complexity of Closest Pair and Related Problems

Ambainis, Andris, Larka, Nikita|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 46被引用 2

一句话总结

本文解決了最近鄰點（CP）問題的量子時間複雜度，提出一種針對常數維度的新型無歷史量子資料結構，實現了 eO(n^{2/3}) 的量子演算法。透過量子查詢下界 Ω(n^{2/3}) 證明其最佳性，並引入量子強指數時間假設（QSETH），顯示 Grover 的二次加速在 polylog(n) 維度下近乎最佳。

ABSTRACT

The closest pair problem is a fundamental problem of computational geometry: given a set of $n$ points in a $d$-dimensional space, find a pair with the smallest distance. A classical algorithm taught in introductory courses solves this problem in $O(n\log n)$ time in constant dimensions (i.e., when $d=O(1)$). This paper asks and answers the question of the problem's quantum time complexity. Specifically, we give an $ ilde{O}(n^{2/3})$ algorithm in constant dimensions, which is optimal up to a polylogarithmic factor by the lower bound on the quantum query complexity of element distinctness. The key to our algorithm is an efficient history-independent data structure that supports quantum interference. In $\mathrm{polylog}(n)$ dimensions, no known quantum algorithms perform better than brute force search, with a quadratic speedup provided by Grover's algorithm. To give evidence that the quadratic speedup is nearly optimal, we initiate the study of quantum fine-grained complexity and introduce the Quantum Strong Exponential Time Hypothesis (QSETH), which is based on the assumption that Grover's algorithm is optimal for CNF-SAT when the clause width is large. We show that the naïve Grover approach to closest pair in higher dimensions is optimal up to an $n^{o(1)}$ factor unless QSETH is false. We also study the bichromatic closest pair problem and the orthogonal vectors problem, with broadly similar results.

研究动机与目标

• 確定最近鄰點（CP）問題在常數維度與多對數維度下的量子時間複雜度。
• 彙整對幾何問題量子加速的理解缺口，特別是在古典演算法失效的高維度環境。
• 設計一種無歷史的量子資料結構，以支援幾何搜尋中的高效量子干擾。
• 透過引入量子強指數時間假設（QSETH），在高維度建立量子條件下界。

提出的方法

• 利用離散化超立方體、雜湊表、跳躍串列與基數樹設計無歷史幾何資料結構，以支援快速最近鄰點查詢。
• 使用量子行走演算法解決元素相異性問題，以達成常數維度下 CP 的 O(n^{2/3}) 查詢複雜度。
• 透過對距離閾值進行二分搜尋以找出最小距離對，結合量子最小值尋找與最近鄰點 oracle。
• 引入 QSETH 作為 SETH 的量子類比，假設 Grover 演算法對大子句 CNF-SAT 問題為最佳。
• 應用量子細緻還原法，證明在 polylog(n) 維度下，CP 的 naïve Grover-based 方法在 o(1) 指數因子內為最佳。
• 利用馬可夫不等式，透過受限建構時間的平行量子最小值尋找，控制資料結構建構過程中的失敗機率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在常數維度下，最近鄰點問題的最優量子時間複雜度為何？
• RQ2 在高維度（polylog(n)）中，是否存在能超越 Grover 二次加速的量子演算法，以實現次二次時間複雜度的 CP？
• RQ3 Grover 演算法在 polylog(n) 維度下求解 CP 是否為最佳？證明此結論需何種假設？
• RQ4 如何設計量子資料結構，以在支援幾何運算的同時維持量子干擾？
• RQ5 能否形式化量子細緻複雜度理論，以將古典條件下界延伸至量子設定？

主要发现

• 在常數維度下，最近鄰點問題實現了 eO(n^{2/3}) 的量子演算法，與已知的量子查詢下界 Ω(n^{2/3}) 相符，僅相差多對數因子。
• 在常數維度下，雙色最近鄰點問題與 (1+ξ)-近似最近鄰點問題的量子查詢複雜度亦為 Ω(n^{2/3})，證明其最佳性。
• 在 polylog(n) 維度下，本文證明在假設量子強指數時間假設（QSETH）成立時，CP 的 naïve Grover-based 方法在 no(1) 因子內為最佳。
• 本文提出一種全新的無歷史量子資料結構，支援快速更新與檢查，進而實現幾何搜尋中的量子干擾。
• 在常數維度下，正交向量問題的時間複雜度為 Θ(√n)，與搜尋問題的量子查詢下界相符。
• 量子最小值尋找程序中的失敗機率被限制在 O(n^{-(1/2 - 1/(2d)))}，當 d > 1 時小於任意常數，確保高可靠性。