[论文解读] On the regularity of geodesic rays associated to test configurations

D. H. Phong, Jacob Sturm|ArXiv.org|Jul 26, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 7

一句话总结

该论文通过奇异点的解析化与Monge-Ampère方程的次解技术，在紧致复流形上配备正线丛的凯勒度量空间中构造了$C^{1,1}$测地线射线。关键贡献在于证明了任意测试配置均对应此类射线的存在性，通过在解析化总空间上的不变度量，将测地线段的正则性理论扩展至射线情形。

ABSTRACT

Geodesic rays of class C^{1,1} are constructed for any test configuration of a positive line bundle L on X using resolution of singularities. The construction reduces to finding a subsolution of the corresponding Monge-Ampere equation. Geometrically, this is accomplished by the use a positive line bundle on the resolution which is trivial outside of the exceptional divisor.

研究动机与目标

• 建立紧致复流形上正线丛的测试配置所关联的凯勒度量空间中$C^{1,1}$测地线射线的存在性。
• 将测地线段的研究程序——此前通过Bergman逼近与弱极限完成——推广至测地线射线的情形。
• 通过在测试配置总空间的解析化空间上构造Monge-Ampère方程的次解，解决测地线射线的正则性问题。
• 利用解析化总空间上的不变度量，提供一个几何框架，以确保所得到的测地线射线具有$C^{1,1}$正则性。

提出的方法

• 通过奇异点的解析化，构造测试配置总空间$\mathcal{X}$的光滑紧化空间$\tilde{\mathcal{X}}$，并赋予其$\mathbb{C}^\times$-等变作用。
• 在$\tilde{\mathcal{X}}$上构造一个正线丛，其在例外除子外平凡，从而支持Monge-Ampère方程的次解构造。
• 在$\tilde{\mathcal{X}}$上定义一个$\mathbb{C}^\times$-不变的凯勒度量$\Omega$，其在中心纤维上具有预设的边界值，并保持曲率形式的不变性。
• 应用Caffarelli–Kohn–Nirenberg–Spruck与Guan的理论，推导出$\tilde{\mathcal{X}}$上Monge-Ampère方程解的$C^{1,1}$正则性，从而确保测地线射线为$C^{1,1}$。
• 利用$\mathbb{C}^\times$-作用下的不变性，将Monge-Ampère方程约化为纤维丛$X \times D^\times$上的测地线方程，确保解定义了一条测地线射线。
• 利用$\tilde{\mathcal{X}}$上Monge-Ampère方程解的唯一性，确保所构造的射线定义良好且与辅助选择无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为紧致复流形上正线丛的任意测试配置构造出$C^{1,1}$测地线射线？
• RQ2 在测试配置总空间的解析化空间上，Monge-Ampère方程的次解是否存在，是否能保证$C^{1,1}$测地线射线的存在性？
• RQ3 即使底空间非严格强伪凸，是否仍能通过解析化技术与曲率估计建立测地线射线的正则性？
• RQ4 解在$\mathbb{C}^\times$-作用下的不变性如何与纤维丛$X \times D^\times$上的测地线方程相关联？
• RQ5 此类射线的构造是否与Bergman测地线的渐近行为相容，如同测地线段的情形一样？

主要发现

• 对于紧致复流形上正线丛的任意测试配置，均存在$C^{1,1}$测地线射线，将测地线段的正则性结果推广至射线情形。
• 该构造依赖于对测试配置总空间奇异点的解析化，以及在解析化空间上构建Monge-Ampère方程的次解。
• 在解析化空间$\tilde{\mathcal{X}}$上构造了一个$\mathbb{C}^\times$-不变的凯勒度量$\Omega$，其曲率形式满足Monge-Ampère方程并具有预设的边界值。
• 在$\tilde{\mathcal{X}}$上Monge-Ampère方程的解$\Phi$，通过在不变性下将方程约化为测地线方程，诱导出$X \times D^\times$上的$C^{1,1}$测地线射线。
• $\tilde{\mathcal{X}}$上Monge-Ampère方程解的唯一性确保了测地线射线定义良好且与辅助选择无关。
• 该方法确认，此类测地线射线的最优正则性为$C^{1,1}$，与文献中已知结果一致，包括环面情形的结果。