[论文解读] On the spectral theory of groups of affine transformations of compact nilmanifolds

Bachir Bekka, Yves Guivarc’h|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 47被引用 16

一句话总结

本文建立了可数子群在紧致尼尔流形上的仿射变换群的谱间隙准则，表明此类作用具有谱间隙当且仅当不存在适当的 $ H $-不变子环面 $ S $，使得 $ H $ 在 $ \mathrm{Aut}(T/S) $ 上的投影具有有限指数的阿贝尔子群。该结果将谱间隙与强遍历性联系起来，并通过环面因子上的作用刻画了遍历性与强混合性。

ABSTRACT

Let $N$ be a connected and simply connected nilpotent Lie group, $\\Lambda$ a lattice in $N$, and $X=N/\\Lambda$ the corresponding nilmanifold. Let $Aff(X)$ be the group of affine transformations of $X$. We characterize the countable subgroups $H$ of $Aff(X)$ for which the action of $H$ on $X$ has a spectral gap, that is, such that the associated unitary representation $U$ of $H$ on the space of functions from $L^2(X)$ with zero mean does not weakly contain the trivial representation. Denote by $T$ the maximal torus factor associated to $X$. We show that the action of $H$ on $X$ has a spectral gap if and only if there exists no proper $H$-invariant subtorus $S$ of $T$ such that the projection of $H$ on $Aut (T/S)$ has an abelian subgroup of finite index. We first establish the result in the case where $X$ is a torus. In the case of a general nilmanifold, we study the asymptotic behaviour of matrix coefficients of $U$ using decay properties of metaplectic representations of symplectic groups. The result shows that the existence of a spectral gap for subgroups of $Aff(X)$ is equivalent to strong ergodicity in the sense of K.Schmidt. Moreover, we show that the action of $H$ on $X$ is ergodic (or strongly mixing) if and only if the corresponding action of $H$ on $T$ is ergodic (or strongly mixing).

研究动机与目标

• 刻画可数子群 $ H $ 在 $ \mathrm{Aff}(\Lambda\backslash N) $ 中的谱间隙行为，其作用于紧致尼尔流形上。
• 建立一个精确的动力学条件——基于最大环面因子 $ T $ 的结构——以确定 $ H $ 的作用是否具有谱间隙。
• 将谱间隙性质与 K. Schmidt 意义下的强遍历性联系起来，将已知的环面系统结果推广至尼尔流形。
• 证明 $ H $ 在 $ \Lambda\backslash N $ 上的遍历性与强混合性，等价于其在最大环面因子 $ T $ 上的作用具有相同的性质。

提出的方法

• 通过最大环面因子 $ T $ 的结构，将问题约化到 $ \Lambda\backslash N $ 为环面的情形。
• 利用辛群的梅塔普利克表示来分析单位酉表示 $ U^0 $ 在 $ L^2_0(\Lambda\backslash N) $ 上的矩阵系数衰减。
• 应用谱半径准则：对 $ H $ 上的非周期测度 $ \mu $，有 $ r(U^0(\mu)) < 1 $，这与谱间隙等价。
• 分析在最大环面因子 $ T $ 上的作用，特别是对子环面 $ S $，$ H $ 在 $ \mathrm{Aut}(T/S) $ 上的投影。
• 利用如下事实：具有阿贝尔商群 $ \mathrm{Aut}(T/S) $ 的 $ H $-不变子环面 $ S $ 会导致几乎不变向量，从而阻碍谱间隙。
• 利用幂零李群与格的结构，将问题约化为有限指数子群，并在商空间上使用紧致性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时可数子群 $ H \leq \mathrm{Aff}(\Lambda\backslash N) $ 在紧致尼尔流形 $ \Lambda\backslash N $ 上的作用具有谱间隙？
• RQ2 在 $ \Lambda\backslash N $ 的最大环面因子 $ T $ 上，$ H $ 的作用的何种动力学条件等价于谱间隙的存在？
• RQ3 在尼尔流形作用的背景下，谱间隙性质如何与强遍历性和强混合性相关联？
• RQ4 在何种条件下，$ H $ 在 $ \Lambda\backslash N $ 上的遍历性或强混合性可约化为在 $ T $ 上的作用具有相同性质？
• RQ5 矩阵系数衰减与梅塔普利克表示理论在建立谱间隙中起到何种作用？

主要发现

• 子群 $ H \leq \mathrm{Aff}(\Lambda\backslash N) $ 的作用具有谱间隙当且仅当不存在适当的 $ H $-不变子环面 $ S \subset T $，使得 $ H $ 在 $ \mathrm{Aut}(T/S) $ 上的投影具有有限指数的阿贝尔子群。
• 谱间隙等价于 K. Schmidt 意义下的强遍历性，为尼尔流形系统中的该性质提供了动力学刻画。
• $ H $ 在 $ \Lambda\backslash N $ 上的遍历性成立当且仅当 $ H $ 在最大环面因子 $ T $ 上的作用是遍历的。
• $ H $ 在 $ \Lambda\backslash N $ 上的强混合性成立当且仅当 $ H $ 在 $ T $ 上的作用是强混合的。
• 单位酉表示 $ U^0 $ 在 $ L^2_0(\Lambda\backslash N) $ 上的矩阵系数属于 $ c_0(H) $，当且仅当在相同条件下，其在环面因子 $ T $ 上的对应矩阵系数也属于 $ c_0(H) $。
• 证明依赖于通过梅塔普利克表示实现的矩阵系数衰减，以及在商空间上的紧致性论证，表明当 $ H $ 作用具有谱间隙时，$ R/\Delta $ 是有限的。