[论文解读] On the stationary distribution of the block counting process for population models with mutation and selection

Fernando Cordero, Martin Möhle|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 64被引用 6

一句话总结

本文研究了具有突变和选择的种群模型中块计数过程的平稳分布，重点关注Moran模型和Λ-沃兹沃思-费舍尔模型。通过积分微分方程推导出平稳分布的显式解，并针对Kingman和星形共祖过程求解，识别出分布为几何分布的条件，特别是Bolthausen–Sznitman共祖过程的情形。

ABSTRACT

We consider two population models subject to the evolutionary forces of selection and mutation, the Moran model and the $\Lambda$-Wright-Fisher model. In such models the block counting process traces back the number of potential ancestors of a sample of the population at present. Under some conditions the block counting process is positive recurrent and its stationary distribution is described via a linear system of equations. In this work, we first characterise the measures $\Lambda$ leading to a geometric stationary distribution, the Bolthausen-Sznitman model being the most prominent example having this feature. Next, we solve the linear system of equations corresponding to the Moran model. For the $\Lambda$-Wright-Fisher model we show that the probability generating function associated to the stationary distribution of the block counting process satisfies an integro differential equation. We solve the latter for the Kingman model and the star-shaped model.

研究动机与目标

• 确定导致块计数过程平稳分布为几何分布的Λ测度类。
• 求解Moran模型中控制平稳分布的线性方程组。
• 推导并求解Λ-沃兹沃思-费舍尔模型中概率生成函数的积分微分方程。
• 显式计算Kingman和星形共祖模型的平稳分布。
• 识别出平稳分布为几何分布的条件，以Bolthausen–Sznitman共祖过程为关键示例。

提出的方法

• 利用Λ-沃兹沃思-费舍尔模型中块计数过程与类型频率过程之间的矩对偶性。
• 应用Siegmund对偶性将块计数过程与固定线过程关联起来。
• 推导出平稳分布概率生成函数的积分微分方程。
• 通过将方程转化为特定Λ测度（如β(3,1)模型）下的线性常微分方程来求解。
• 使用超几何函数和Appell函数等特殊函数，以解析形式表达解。
• 利用Stieltjes变换和积分恒等式推导边界条件和显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些Λ测度使得块计数过程的平稳分布为几何分布？
• RQ2 具有突变和选择的Moran模型中，平稳分布的显式形式是什么？
• RQ3 Λ-沃兹沃思-费舍尔模型中，平稳分布的概率生成函数如何表征？
• RQ4 Kingman和星形共祖情形下，控制生成函数的积分微分方程的解是什么？
• RQ5 是否可以显式计算β(3,1)-模型的平稳分布，其形式如何？

主要发现

• 本文识别出Bolthausen–Sznitman共祖过程是平稳分布为几何分布的显著例子。
• 对于Moran模型，平稳分布的线性方程组被显式求解。
• Λ-沃兹沃思-费舍尔模型中，平稳分布的概率生成函数满足一个积分微分方程。
• 对Kingman共祖过程，该积分微分方程被显式求解，得到了生成函数的闭式表达。
• 对于β(3,1)-模型，通过具有边界条件gΛ(0) = 0和gΛ(1) = 1的常微分方程导出平稳分布。
• 解涉及超几何函数和Appell函数，表明在特定Λ测度下该模型具有解析可解性。