[论文解读] On the structure of graded symplectic supermanifolds and Courant algebroids

Dmitry Roytenberg|ArXiv.org|Mar 12, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 24

一句话总结

本文建立了度数为2的分次辛超流形与基流形上伪欧几里得向量丛上的Courant代数胚之间的典范对应关系。通过构造此类超流形上函数的分次泊松代数，证明BRST荷与Courant代数胚结构精确对应，推广了经典BRST复形，并证明了高阶德拉姆复形的正合性。关键贡献在于通过分次辛超几何实现了Courant代数胚的几何实现，进而通过Ševera类对精确Courant代数胚进行了形变理论分类。

ABSTRACT

This paper is devoted to a study of geometric structures expressible in terms of graded symplectic supermanifolds. We extend the classical BRST formalism to arbitrary pseudo-Euclidean vector bundles (E o M_{0}) by canonically associating to such a bundle a graded symplectic supermanifold ((M,Ω)), with ( extrm{deg}(Ω)=2). Conversely, every such manifold arises in this way. We describe the algebra of functions on (M) in terms of (E) and show that ``BRST charges'' on (M) correspond to Courant algebroid structures on (E), thereby constructing the standard complex for the latter as a generalization of the classical BRST complex. As an application of these ideas, we prove the acyclicity of ``higher de Rham complexes'', a generalization of a classic result of Fröhlicher-Nijenhuis, and derive several easy but useful corollaries.

研究动机与目标

• 将经典的BRST形式化方法从李代数推广到任意基流形上的伪欧几里得向量丛。
• 建立度数为2的分次辛超流形与这类丛上Courant代数胚结构之间的典范对应关系。
• 证明这些超流形上的BRST荷与Courant代数胚结构精确对应，从而将Courant代数胚的标准复形构造为BRST复形的推广。
• 证明高阶德拉姆复形的正合性，扩展了Fröhlicher-Nijenhuis的经典结果。
• 通过Ševera类对精确Courant代数胚提供形变理论分类，恢复并扩展了形变理论中的结果。

提出的方法

• 从一个伪欧几里得向量丛 $E \to M_0$ 构造一个分次辛超流形 $M = E[1] \times T^*[2]M_0$，其中 $\Omega$ 是一个度数为2的辛形式。
• 将 $M$ 上的函数代数定义为一个分次泊松代数，泊松括号度数为 $-2$，并证明其同构于 $\Gamma(\wedge^\bullet E^*)$。
• 将BRST荷识别为度数为1的奇哈密顿量，其谢托南-尼坚休斯括号 $\{\Theta, \Theta\} = 0$ 的零化条件恰好对应于Courant代数胚公理。
• 利用导出括号构造，从哈密顿量 $\Theta$ 恢复Courant括号，推广了李代数情形。
• 应用NQ-流形形式化，证明与 $M$ 关联的总复形 $({\mathcal{A}}^{\cdot}, D)$ 即为Courant代数胚的标准复形。
• 利用形变理论，通过Ševera类对精确Courant代数胚进行分类，表明满足 $d\phi = 0$ 的3-形式 $\phi$ 分类了标准Courant代数胚 $E_0$ 的非平凡形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 BRST形式化方法如何能从李代数推广到任意伪欧几里得向量丛？
• RQ2 度数为2的分次辛超流形与Courant代数胚结构之间的确切对应关系是什么？
• RQ3 Courant代数胚的标准复形如何从分次辛超流形上函数的泊松代数中导出？
• RQ4 Courant代数胚标准复形的上同调具有何种几何意义？
• RQ5 标准Courant代数胚的形变如何分类，Ševera类在此分类中起什么作用？

主要发现

• Courant代数胚的标准复形同构于基流形 $M_0$ 的德拉姆复形，其上同调同构于 $H^\bullet(M_0, \mathbb{R})$。
• 标准Courant代数胚 $E_0 = TM_0 \oplus T^*M_0$ 的标准复形的上同调同构于 $M_0$ 的德拉姆上同调，该结果通过闭1-形式与恰当2-形式的作用得以证明。
• 标准Courant代数胚 $E_0$ 的形变由 $M_0$ 上的闭3-形式 $\phi$ 分类，若 $\phi' - \phi = d\beta$，则 $\phi$ 与 $\phi'$ 诱导同构的代数胚。
• Courant代数胚的Ševera类是曲率3-形式 $\phi$ 的上同调类，该类对精确Courant代数胚模同构进行分类。
• BRST荷 $\Theta_\phi = \Theta_0 - \phi$ 满足 $\{\Theta_\phi, \Theta_\phi\} = 0$ 当且仅当 $d\phi = 0$，确认了形变的一致性。
• 具有双不变度量的李群 $G$ 上的精确Courant代数胚源自Cartan 3-形式，其Ševera类等于 $G$ 的典范类。