[论文解读] On the structure of oriented graphs and digraphs with forbidden tournaments or cycles

Deryk Osthus, Daniela Kühn+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2014

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文使用超图容器方法解决了 Cherlin 关于禁止竞赛图或环的有向图与有向图结构的猜想。证明了几乎所有 $T_{k+1}$-free 的有向图与有向图都是 $k$-部图，而 $C_k$-free 图并非无环，但接近无环，仅需次二次方数量级的边修改即可变为无环，且给出了边修改阈值的精确界限。

ABSTRACT

Motivated by his work on the classification of countable homogeneous oriented graphs, Cherlin asked about the typical structure of oriented graphs (i) without a transitive triangle, or (ii) without an oriented triangle. We give an answer to these questions (which is not quite the predicted one). Our approach is based on the recent `hypergraph containers' method, developed independently by Saxton and Thomason as well as by Balogh, Morris and Samotij. Moreover, our results generalise to forbidden transitive tournaments and forbidden oriented cycles of any order, and also apply to digraphs. Along the way we prove several stability results for extremal digraph problems, which we believe are of independent interest.

研究动机与目标

• 解决 Cherlin 关于 $T_3$-free 与 $C_3$-free 有向图的典型结构的猜想。
• 将 Erd"{o}s 的相关结果推广至有向图情形。
• 利用超图容器方法分析 $T_{k+1}$-free 与 $C_k$-free 有向图与有向图的极值结构。
• 建立极值有向图问题的稳定性结果，特别是关于通过边修改实现无环性的结果。

提出的方法

• 将 Saxton-Thomason 与 Balogh-Morris-Samotij 开发的超图容器方法应用于控制 $H$-free 有向图与有向图的结构。
• 定义传递最优排序与反向边，以度量无环性并量化结构偏离无环图的程度。
• 在三部图中引入可翻转的 4 元组，构造辅助二部图，并通过双重计数法控制容器大小。
• 在辅助二部图 $H$ 与 $H'$ 中使用双重计数法，推导出具有不同边数的图集大小之间的不等式。
• 利用二项式系数与指数项的组合界，推导出具有特定边修改的 $C_k$-free 图数量的下界。
• 建立 $|\mathcal{O}_{n,3,m_2}| \geq 2^{n/2^{14}} \cdot |\mathcal{O}_{n,3,\leq m_2/(2\log n)}|$，以表明此类图的数量呈指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 几乎所有 $T_3$-free 有向图是否如 Cherlin 所猜想的那样为三部图？
• RQ2 $C_3$-free 有向图的典型结构是否如 Cherlin 所猜想的那样为无环？
• RQ3 需要多少条边修改才能使一个 $C_k$-free 有向图变为无环？其渐近阈值是什么？
• RQ4 超图容器方法能否被推广以证明 $T_{k+1}$-free 与 $C_k$-free 有向图与有向图的结构性结果？
• RQ5 具有 $C_k$-free 性质的有向图数量的精确渐近增长速率是多少？其与无环性的关系如何？

主要发现

• 几乎所有 $T_{k+1}$-free 有向图都是 $k$-部图，证实并加强了 Cherlin 猜想 1.1(i) 对所有 $k \geq 2$ 的结论。
• 几乎所有 $T_{k+1}$-free 有向图也都是 $k$-部图，该结果被推广至一般有向图。
• 对于 $k \geq 3$，几乎所有 $C_k$-free 有向图需要 $\Omega(n/\log n)$ 次边修改才能变为无环，从而否定了 Cherlin 猜想 1.1(ii)。
• 几乎所有 $C_k$-free 有向图都接近无环，仅需次二次方数量级的边修改，对任意 $\epsilon > 0$，$O(n^{2-\epsilon})$ 次修改已足够。
• 对于偶数 $k$，$C_k$-free 有向图也满足相同的次二次方边修改界；而对于奇数 $k$，虽为较弱的界，但仍为次二次方。
• 具有 $C_k$-free 性质的有向图数量随 $n$ 呈指数增长，且对充分大的 $n$，有 $|\mathcal{O}_{n,3,m_2}| \geq 2^{n/2^{14}} \cdot |\mathcal{O}_{n,3,\leq m_2/(2\log n)}|$，表明其具有丰富的结构多样性。