[论文解读] On the unirationality of higher dimensional Ueno-type manifolds

Fabrizio Catanese, Keiji Oguiso+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明了Ueno型流形 $X_{4,6}$ 的有理连通性，即 $E(6)^4$ 关于阶为6的循环群的对角作用的商的最小解析解，其中 $E(6)$ 为等超椭圆椭圆曲线。证明依赖于通过坐标之间的对称关系构造有理纤维丛，并分析对角三次超曲面的几何结构，从而建立 $X_{4,6}$ 与仿射空间中由三次方程定义的完全交的双有理等价关系。

ABSTRACT

We prove the unirationality of the Ueno-type manifold $X_{4,6}$. $X_{4,6}$ is the minimal resolution of the quotient of the Cartesian product $E(6)^4$, where $E(6)$ is the equianharmonic elliptic curve, by the diagonal action of a cyclic group of order 6 (having a fixed point on each copy of $E(6)$). We collect also other results, and discuss several related open questions.

研究动机与目标

• 建立Ueno型流形 $X_{4,6}$ 的有理连通性，该流形为 $E(6)^4$ 关于阶为6的循环群对角作用的商的最小解析解。
• 扩展对由阿贝尔簇与有限群作用构造的高维Calabi–Yau型流形的有理性与有理连通性的理解。
• 解决Ueno与Oguiso提出的关于 $X_{n,6}$（$3 \leq n \leq 5$）的可分有理连通性问题，特别是针对 $n=4$ 与 $n=5$ 的情形。
• 提供几何与代数工具——如有理映射、爆破与双有理不变量——适用于复几何与代数几何中类似商构造的处理。

提出的方法

• 通过引入对称坐标 $s_3, s_4, s_5$ 与 $w_2, w_3, w_4, w_5$ 构造有理纤维丛，以参数化 $X_{4,6}$ 的函数域。
• 通过涉及 $w_i^3 - 1$ 与 $s_3, s_4$ 的有理函数的三次关系，定义域扩张 $k(X_{4,6}) = k(s_3, s_4, w_2, w_3, w_4)$。
• 分析由变量 $w_2, w_3, w_4, w_5$ 的对角三次方程定义的超曲面 $H$，其系数为 $s_3, s_4, s_5$ 的三次多项式，构成完全交。
• 将 $H$ 的有理结构映射到由三次形式定义的有理映射 $\phi: \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2$，其具有7个基点，经爆破后得到一个度为2的Del Pezzo曲面。
• 将 $\phi$ 的分支点除子识别为一个六次曲线，包含6条直线，其分支点集为 $\mathcal{B} = \{abc(a+b+c) = 0\}$，该集合定义了一个四次曲线。
• 利用Del Pezzo曲面的双重覆盖结构，证明 $X_{4,6}$ 的函数域在 $\mathbb{P}^2$ 的函数域上为有理函数域，从而确立有理连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 已知 $X_{3,6}$ 为有理流形，Ueno型流形 $X_{4,6}$ 是否为有理连通流形？
• RQ2 用于证明 $X_{4,6}$ 有理连通性的方法能否推广至证明 $X_{5,6}$ 的有理连通性？
• RQ3 $X_{4,6}$ 是否为有理流形，抑或仅存在有理连通参数化而无有理参数化？
• RQ4 Geiser对合与度为2的Del Pezzo曲面在 $X_{4,6}$ 的双有理几何中起何作用？
• RQ5 $GL(n, \mathbb{Z})$ 与分圆环所诱导的对称性如何与这些流形的有理性和有理连通性相关联？

主要发现

• 通过坐标 $s_3, s_4, w_2, w_3, w_4$ 之间的对称关系构造有理纤维丛，确立了Ueno型流形 $X_{4,6}$ 的有理连通性。
• 函数域 $k(X_{4,6})$ 由 $s_3, s_4, w_2, w_3, w_4$ 生成，受两个双次为 $(3,3)$ 的三次关系约束，表明 $X_{4,6}$ 双有理等价于 $\mathbb{A}^7$ 中的完全交。
• 由三次形式定义的有理映射 $\phi: \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^2$ 具有7个基点，其爆破后生成一个度为2的Del Pezzo曲面，该曲面为 $\mathbb{P}^2$ 上关于四次曲线 $\mathcal{B} = \{abc(a+b+c) = 0\}$ 的双重覆盖。
• $\phi$ 的分支点除子为一个含6条直线的六次曲线，其在Del Pezzo曲面上的严格提升在点 $e, e_1, e_2, e_3$ 处包含 $(-1)$-曲线，从而确认了双重覆盖结构。
• 将相同方法应用于 $n=5$ 时，得到 $X_{5,6}$ 的双有理模型，其为 $\mathbb{A}^7$ 中由 $s_3, s_4, s_5, w_2, w_3, w_4, w_5$ 的两个三次方程定义的完全交，暗示 $X_{5,6}$ 可能具有有理连通性。
• 该构造证实 $X_{4,6}$ 不是 $K$-有理流形，因某一有理函数不满足立方条件，表明在此情形下有理连通性不蕴含有理性。