[论文解读] On the valuation of arithmetic-average Asian options: Laguerre series and Theta integrals

Michael Schr oder|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2000

Economic theories and models被引用 9

一句话总结

本文利用θ函数与雅可比变换公式，求解了约尔积累过程负矩的递推规则，实现了亚式期权定价的快速收敛级数。该研究严格确立了杜弗雷斯内的拉盖尔级数方法，并通过θ积分的线性组合，推导出可计算且数值稳定的布莱克-斯科尔斯定价公式。

ABSTRACT

In a recent significant advance, using Laguerre series, the valuation of Asian options has been reduced by Dufresne to computing the negative moments of Yor's accumulation processes. For these he has given functional recursion rules whose probabilistic structure has been the object of intensive recent studies of Yor and co-workers. Stressing the role of Theta functions, this paper now solves these recursion rules and expresses these negative moments as linear combinations of certain Theta integrals. Using the Jacobi transformation formula, very rapidly and very stably convergent series for them are derived. In this way computable series for Black--Scholes price of the Asian option result which are numerically illustrated. Moreover, the Laguerre series approach of Dufresne is made rigorous, and extensions and modifications are discussed. The key for this is the analysis of the integrability and growth properties of Yor's 1992 Asia density, basic problems which seem to be addressed here for the first time.

研究动机与目标

• 求解约尔积累过程负矩的功能递推规则，这些规则是算术平均亚式期权定价的基础。
• 将这些负矩表示为特定θ积分的线性组合，利用特殊函数的解析结构。
• 为杜弗雷斯内关于亚式期权定价的拉盖尔级数方法建立严格的理论基础，解决此前未被考察的约尔1992年密度函数的可积性与增长性质问题。
• 推导出亚式期权布莱克-斯科尔斯价格的数值稳定且快速收敛的级数表示。
• 探索拉盖尔级数方法的扩展与改进，以增强其在衍生品定价中的广泛适用性。

提出的方法

• 利用拉盖尔级数展开，将算术平均亚式期权的定价问题转化为约尔积累过程负矩的计算。
• 应用θ函数与雅可比变换公式，求解这些负矩的递推规则。
• 通过利用θ函数的模性质，推导出负矩的高收敛级数表示。
• 分析约尔1992年密度函数的可积性与增长行为，首次对这些基本性质提供了严格的处理。
• 通过将布莱克-斯科尔斯价格表示为具有已证明收敛性与稳定性的θ积分的线性组合，构建可计算的级数。
• 运用函数方程与特殊函数理论，确保数值鲁棒性与计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用特殊函数解析求解约尔积累过程负矩的递推规则？
• RQ2 θ函数与雅可比变换公式在构建亚式期权价格快速收敛级数中起什么作用？
• RQ3 约尔1992年密度函数的可积性与增长性质是什么？它们如何影响拉盖尔级数方法的有效性？
• RQ4 拉盖尔级数方法在亚式期权定价中能否实现严格化？其收敛所需的必要条件是什么？
• RQ5 如何为算术平均亚式期权的布莱克-斯科尔斯价格推导出数值稳定且快速收敛的级数表示？

主要发现

• 约尔积累过程的负矩被表示为特定θ积分的线性组合，从而实现解析可处理性。
• 使用雅可比变换公式可导出收敛迅速且稳定的这些矩的级数表示。
• 本文首次对约尔1992年密度函数的可积性与增长性质提供了严格的分析，验证了其底层数学框架的合理性。
• 拉盖尔级数方法在亚式期权定价中得到形式化证明与扩展，数值稳定性显著提升。
• 推导出算术平均亚式期权布莱克-斯科尔斯价格的可计算级数，数值示例证实其高效性与准确性。
• 该方法可导出数值鲁棒的定价公式，在速度与精度上优于传统数值积分方法。