[论文解读] One-bit compressive sensing with norm estimation

Karin Knudson, Rayan Saab+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文提出了一种新颖的一比特压缩感知框架，通过在测量模型中引入仿射量化偏移 $b_i$，实现了对稀疏信号方向和范数的精确恢复。研究表明，无论采用随机 $b_i$ 还是固定 $b_i$，均可使用 $m \gtrsim R^4 r^{-2} \delta^{-2}$ 次测量，在加法误差 $\delta$ 内估计范数 $\|\bm{x}\|_2$，并为已知范数环形区域内的所有稀疏向量提供了通用恢复保证。

ABSTRACT

Consider the recovery of an unknown signal ${x}$ from quantized linear measurements. In the one-bit compressive sensing setting, one typically assumes that ${x}$ is sparse, and that the measurements are of the form $\operatorname{sign}(\langle {a}_i, {x} angle) \in \{\pm1\}$. Since such measurements give no information on the norm of ${x}$, recovery methods from such measurements typically assume that $\| {x} \|_2=1$. We show that if one allows more generally for quantized affine measurements of the form $\operatorname{sign}(\langle {a}_i, {x} angle + b_i)$, and if the vectors ${a}_i$ are random, an appropriate choice of the affine shifts $b_i$ allows norm recovery to be easily incorporated into existing methods for one-bit compressive sensing. Additionally, we show that for arbitrary fixed ${x}$ in the annulus $r \leq \| {x} \|_2 \leq R$, one may estimate the norm $\| {x} \|_2$ up to additive error $δ$ from $m \gtrsim R^4 r^{-2} δ^{-2}$ such binary measurements through a single evaluation of the inverse Gaussian error function. Finally, all of our recovery guarantees can be made universal over sparse vectors, in the sense that with high probability, one set of measurements and thresholds can successfully estimate all sparse vectors ${x}$ within a Euclidean ball of known radius.

研究动机与目标

• 为解决标准一比特压缩感知中的根本性局限，即由于仅测量符号信息而丢失信号幅值信息。
• 通过引入形式为 $\operatorname{sign}(\langle\bm{a}_i,\bm{x}\rangle + b_i)$ 的仿射测量，实现在一比特压缩感知中对范数的恢复。
• 为已知范数环形区域 $r \leq \|\bm{x}\|_2 \leq R$ 内的所有稀疏向量提供理论恢复保证。
• 提出两种不同方法：一种使用随机 $b_i$ 实现方向与范数的联合恢复；另一种使用固定 $b_i$ 实现仅范数估计。
• 建立在受控加法误差 $\delta$ 下对范数估计的样本复杂度边界。

提出的方法

• 引入使用仿射量化的方法模型：$y_i = \operatorname{sign}(\langle\bm{a}_i,\bm{x}\rangle + b_i)$，其中 $\bm{a}_i$ 为独立同分布的标准高斯向量。
• 提出一种使用独立同分布高斯 $b_i$ 的方法，通过受 Plan 和 Vershynin（2013）启发的扩展优化问题，实现方向与范数的联合恢复。
• 开发第二种方法，使用固定阈值 $b_i = \tau$，通过测量的样本累积分布函数（EDF）估计 $\|\bm{x}\|_2$。
• 利用反高斯误差函数计算，从固定 $\tau$ 条件下 $-1$ 测量值的比例估计范数。
• 使用几何概率与测度集中原理推导通用恢复保证，表明在范数环形区域内的所有稀疏向量上均以高概率成功恢复。
• 建立样本复杂度边界：$m \gtrsim R^4 r^{-2} \delta^{-2}$ 次测量足以在加法误差 $\delta$ 内估计 $\|\bm{x}\|_2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅能获取符号信息时，能否从一比特测量中恢复稀疏信号的范数？
• RQ2 在测量模型中引入仿射偏移 $b_i$ 是否能实现在一比特压缩感知中的范数恢复？
• RQ3 使用仿射一比特测量时，估计 $\|\bm{x}\|_2$ 在加法误差 $\delta$ 内所需的最少测量次数是多少？
• RQ4 能否为已知范数环形区域内的所有稀疏向量提供通用恢复保证？
• RQ5 随机与固定阈值 $b_i$ 对范数与信号恢复的精度和鲁棒性有何影响？

主要发现

• 使用固定阈值 $b_i = \tau$ 时，可通过 $m \gtrsim R^4 r^{-2} \delta^{-2}$ 次一比特测量，在加法误差 $\delta$ 内估计范数 $\|\bm{x}\|_2$。
• 对于随机 $b_i \sim \mathcal{N}(0, \tau^2)$，该方法通过扩展优化框架，以高概率实现方向与范数的精确联合恢复。
• 所提方法提供通用恢复保证：一组单一的测量与阈值可高概率恢复所有满足 $r \leq \|\bm{x}\|_2 \leq R$ 的 $s$-稀疏向量 $\bm{x}$。
• 使用随机 $b_i$ 的 $PV_{\text{aug}}$ 方法在阈值误估情况下比使用固定 $\tau$ 的 EDF 方法更具鲁棒性，尽管后者在最优 $\tau$ 下性能略优。
• 数值实验表明，两种方法的误差均随 $m$ 增加而衰减，且当 $\tau$ 过小或过大时，误差曲线呈现 U 形。
• 理论分析表明，即使在无稀疏性假设下，只要信号位于已知环形区域，使用固定 $b_i$ 仍可实现范数恢复。