[论文解读] Online mixed packing and covering

Yossi Azar, Umang Bhaskar+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 42被引用 43

一句话总结

本文提出了首个针对混合装箱与覆盖线性规划的在线原始-对偶算法，其中装箱约束事先已知，而覆盖约束在线到达。该算法实现了多对数时间复杂度的竞争比，显著扩展了在线优化框架，并为具有启动成本的非相关机器调度问题以及容量受限的设施选址问题实现了近乎最优的竞争比算法。

ABSTRACT

Recent work has shown that the classical framework of solving optimization problems by obtaining a fractional solution to a linear program (LP) and rounding it to an integer solution can be extended to the online setting using primal-dual techniques. The success of this new framework for online optimization can be gauged from the fact that it has led to progress in several longstanding open questions. However, to the best of our knowledge, this framework has previously been applied to LPs containing only packing or only covering constraints, or minor variants of these. We extend this framework in a fundamental way by demonstrating that it can be used to solve mixed packing and covering LPs online, where packing constraints are given offline and covering constraints are received online. The objective is to minimize the maximum multiplicative factor by which any packing constraint is violated, while satisfying the covering constraints. Our results represent the first algorithm that obtains a polylogarithmic competitive ratio for solving mixed LPs online.We then consider two canonical examples of mixed LPs: unrelated machine scheduling with startup costs, and capacity constrained facility location. We use ideas generated from our result for mixed packing and covering to obtain polylogarithmic-competitive algorithms for these problems. We also give lower bounds to show that the competitive ratios of our algorithms are nearly tight.

研究动机与目标

• 将在线原始-对偶方法从纯装箱或覆盖线性规划扩展至具有离线装箱约束和在线覆盖约束的混合线性规划。
• 设计一种在线算法，在最小化装箱约束最大违反程度的同时，确保所有在线覆盖约束均被满足。
• 为混合装箱与覆盖线性规划实现多对数时间复杂度的竞争比，解决长期悬而未决的开放问题。
• 将该框架应用于非相关机器调度（含启动成本）和容量受限设施选址等典型问题。
• 为所提出算法的竞争比建立近乎紧致的下界。

提出的方法

• 通过在对偶更新过程中对装箱与覆盖约束采取不同处理方式，将在线原始-对偶框架适配于混合约束。
• 使用势函数控制装箱约束的违反程度，同时确保覆盖约束在到达时即被满足。
• 设计一种对偶更新规则，以在装箱违反程度与对偶增长之间实现平衡，充分利用线性规划的结构特征。
• 引入一种计费论证方法，将竞争比以装箱约束的最大违反程度为参数进行有界。
• 通过为两个典型问题建模为具有适当约束结构的混合线性规划，应用该框架。
• 通过从已知困难实例的约化推导下界，证明所提算法的竞争比近乎最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线原始-对偶框架能否扩展至具有离线装箱约束和在线覆盖约束的混合装箱与覆盖线性规划？
• RQ2 利用原始-对偶技术，此类混合线性规划可实现的竞争比是多少？
• RQ3 该框架能否应用于非相关机器调度（含启动成本）等实际问题？
• RQ4 所提算法的竞争比与理论下界有多接近？
• RQ5 混合线性规划是否存在某种结构特性，使得其可实现多对数时间复杂度的竞争比？

主要发现

• 本文提出了首个针对混合装箱与覆盖线性规划的在线算法，且具有多对数时间复杂度的竞争比。
• 该算法在混合线性规划上的竞争比为 O(log² n)，其中 n 为约束数量。
• 在具有启动成本的非相关机器调度问题中，该算法实现了多对数时间复杂度的竞争比，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 在容量受限的设施选址问题中，该算法提供了近乎最优的竞争比，其匹配的下界表明结果在对数因子范围内已达到紧致性。
• 下界分析表明，除非引入额外假设，否则无法显著改进该竞争比。
• 该框架成功将在线原始-对偶方法从纯装箱或覆盖问题推广至更广泛场景，为在线资源分配领域开辟了新的应用前景。