[论文解读] Operator Complexity for Continuous Variable Systems

S. Shajidul Haque, Chandan Jana+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2021

Quantum Information and Cryptography参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文通过在量子谐振子中对位移、压缩和旋转算符的李群流形上计算最短测地线长度，将算符复杂度推广至连续变量系统。研究发现，复杂度与态无关：位移算符的复杂度等于相干态参数的模值，压缩算符的复杂度与压缩参数成正比，且与压缩角无关。

ABSTRACT

We extend the method of computing operator complexity as a minimal length geodesic on a group manifold to infinite-dimensional Hilbert spaces by computing the complexity for the displacement, squeeze and rotation operators of a quantum harmonic oscillator. The resulting complexity of these operators is state-independent since this approach is independent of the particular reference and target states chosen. We show how the group manifold geometry associated with the Heisenberg generators of the displacement operator is non-compact 3-dimensional hyperbolic space, with a time-independent complexity equal to the magnitude of the coherent state parameter. A generic quadratic Hamiltonian for a quantum harmonic oscillator can be decomposed as a product of squeeze and rotation operators, parameterized by a squeezing parameter, squeezing angle, and rotation angle. The squeeze and rotation operators are elements of the group SU(1,1), and we again find an associated geometry of the group manifold that is negatively curved. The corresponding complexity of the squeezing operator is proportional to the squeezing parameter and is independent of the squeezing angle, in contrast the complexity of squeezed states found in some state-based approaches. These results are a step towards characterizing the properties of quantum information for continuous variable systems in a state-independent way.

研究动机与目标

• 将算符复杂度推广至无限维希尔伯特空间中的连续变量系统。
• 为谐振子系统中的量子线路复杂度建立一个与态无关的量化框架。
• 刻画与位移、压缩和旋转算符相关的算符流形的几何结构。
• 确立复杂度源于李群流形几何而非特定参考态或目标态的结论。

提出的方法

• 将算符复杂度定义为量子谐振子算符在李群流形上的最短测地线长度。
• 利用赫尔曼诺夫群建模位移算符，其流形为非紧致的三维双曲空间。
• 利用 SU(1,1) 群结构将通用二次哈密顿量参数化为压缩与旋转算符的乘积。
• 通过 SU(1,1) 群流形的几何结构推导压缩与旋转算符的复杂度，该流形具有负曲率。
• 利用群流形上的不变度量，将复杂度计算为从单位算符出发的黎曼距离。
• 通过仅依赖算符群结构，确保复杂度度量与参考态和目标态的选择无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在无限维希尔伯特空间中的连续变量量子系统中一致地定义算符复杂度？
• RQ2 位移、压缩和旋转算符在谐振子中的复杂度背后的几何结构是什么？
• RQ3 这些算符的复杂度是否依赖于参考态与目标态的选择？
• RQ4 压缩算符的复杂度如何与压缩参数和压缩角相关？
• RQ5 能否构建一个能捕捉实现这些量子操作内在难度的与态无关的复杂度度量？

主要发现

• 位移算符的复杂度等于相干态参数的模值，与具体相干态无关。
• 位移算符的群流形为非紧致的三维双曲空间，其复杂度与时间无关。
• 压缩算符的复杂度与压缩参数成正比，且与压缩角无关。
• 旋转算符的复杂度同样与态无关，其根源在于 SU(1,1) 群流形的负曲率几何。
• 任意二次哈密顿量的总复杂度由压缩与旋转算符复杂度的乘积决定，且不依赖于参考态与目标态。
• 该框架成功实现了对连续变量系统中量子信息复杂度的与态无关表征。