[论文解读] Towards the non-equilibrium thermodynamics of the complexity and the Jarzynski identity

Chen Bai, Wenhao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 61被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于复杂性几何和Jarzynski等式的非平衡热力学框架，用于研究量子计算复杂性。通过在SU(N)流形上构建配分函数，并从带有吸收项的Fokker-Planck方程推导出Jarzynski等式，建立了涨落-耗散定理，证明了复杂性第二定律，且在横向场伊辛模型中通过数值方法得到验证。

ABSTRACT

We discuss, from a non-equilibrium thermodynamics perspective, the proposals that quantum computational complexity can be described via geometric approaches, i.e. complexity geometry. We review the basic concepts of complexity geometry and the principle of minimum complexity. We describe how to construct a partition function on special unitary group manifold, which may be extended to derive the Jarynzki identity from a Fokker-Planck equation with a sink term. In this way, we obtain, by using the Hamilton-Jacobi equation, the Jarzynski identity that directly relates to quantum computational complexity for what might be carried out to provide a non-equilibrium framework for describing quantum complexity. In this paper, we mainly utilize this framework to prove the second law of complexity and obtain a fluctuation-dissipation theorem based on the complexity version of the Jarzynski identity. Besides, we choose the transverse field Ising model as an example to test our results numerically.

研究动机与目标

• 开发量子计算复杂性的非平衡热力学描述。
• 通过在SU(N)流形上构建配分函数，建立复杂性几何与Jarzynski等式之间的联系。
• 在此框架下推导涨落-耗散定理，并证明复杂性的第二定律。
• 通过多体量子系统中的数值模拟验证该理论框架。

提出的方法

• 在特殊酉群流形上构建配分函数，将量子复杂性建模为热力学系统。
• 从包含吸收项的Fokker-Planck方程推导出Jarzynski等式，以描述非平衡动力学。
• 应用Hamilton-Jacobi方程，将动力学与Jarzynski等式及复杂性度量联系起来。
• 利用复杂性几何定义最小复杂性路径，并将其与非平衡过程中的热力学功相关联。
• 在横向场伊辛模型中实现该框架，以数值方式检验预测结果。
• 利用所得形式化体系，推导出适用于量子复杂性的特定涨落-耗散定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何复杂性方法，利用非平衡热力学框架来描述量子计算复杂性？
• RQ2 在量子复杂性的背景下，如何从带有吸收项的Fokker-Planck方程推导出Jarzynski等式？
• RQ3 在复杂性-热力学框架中，涨落-耗散定理的形式是什么？
• RQ4 复杂性的第二定律如何从该非平衡形式化体系中自然涌现？
• RQ5 理论预测能否在如横向场伊辛模型这样的多体量子系统中通过数值方法得到验证？

主要发现

• 成功地从带有吸收项的Fokker-Planck方程推导出Jarzynski等式，将其与量子计算复杂性联系起来。
• 在复杂性-热力学框架内建立了涨落-耗散定理，其形式类似于平衡统计力学中的对应关系。
• 证明了复杂性的第二定律，表明实现量子计算所需的平均功超过复杂性的变化量。
• 通过横向场伊辛模型对框架进行了数值验证，结果与理论预测一致。
• 在SU(N)流形上的配分函数为量子复杂性提供了几何与热力学描述，使非平衡分析成为可能。