[论文解读] Optimal minimax bounds for time and ensemble averages of dissipative infinite-dimensional systems with applications to the incompressible Navier-Stokes equations

Ricardo Rosa, Roger Témam|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出了一种极小极大优化框架，用于推导耗散无限维系统（如二维和三维不可压缩纳维-斯托克斯方程）的时间平均和系综平均的最优界。通过在相空间上进行基于对偶性的优化，并引入一族柱状测试泛函，该框架在无需显式知道系统解的情况下，仅依赖于系统的演化规律，即可获得紧确界。

ABSTRACT

Obtaining sharp estimates for quantities involved in a given model is an integral part of a modeling process. For dynamical systems whose orbits display a complicated, perhaps chaotic, behaviour, the aim is usually to estimate time or ensemble averages of given quantities. This is the case, for instance, in turbulent flows. In this work, the aim is to present a minimax optimization formula that yields optimal bounds for time and ensemble averages of dissipative infinite-dimensional systems, including the two- and three-dimensional Navier-Stokes equations. The results presented here are extensions to the infinite-dimensional setting of a recent result on the finite-dimensional case given by Tobasco, Goluskin, and Doering in 2017. The optimal result occurs in the form of a minimax optimization problem and does not require knowledge of the solutions, only the law of the system. The minimax optimization problem appears in the form of a maximization over a portion of the phase space of the system and a minimization over a family of auxiliary functions made of cylindrical test functionals defined on the phase space. The function to be optimized is the desired quantity plus the duality product between the law of the system and the derivative of the auxiliary function.

研究动机与目标

• 推导耗散无限维动力系统中时间与系综平均的紧确、最优界，特别是那些表现出复杂或混沌行为的系统。
• 将Tobasco、Goluskin与Doering（2017）先前在有限维情形下建立的极小极大界推广至无限维情形，包括不可压缩纳维-斯托克斯方程。
• 开发一种仅基于系统演化规律的方法，避免对显式解轨迹或详细动力学信息的依赖。
• 为具有能量耗散与复杂动力学的系统中可观测量长期平均的估计，提供一个严格的变分框架。

提出的方法

• 构建一个极小极大优化问题，目标是在相空间的某个子集上最大化，并在相空间上定义的一族柱状测试泛函上最小化。
• 引入一个由柱状测试泛函构造的辅助函数，其导数通过一个对偶积与系统的演化规律耦合。
• 优化可观测量与系统演化规律和辅助函数导数之间对偶积之和。
• 依赖于系统不变测度（即演化规律）的结构，而非求解底层方程，从而在无需轨迹计算的情况下实现界估计。
• 在适当的泛函分析设定下，将该框架应用于耗散系统，特别是二维与三维不可压缩纳维-斯托克斯方程。
• 证明当辅助函数在无限维情形下满足特定形式的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程时，最优界可被达到。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于如纳维-斯托克斯方程等耗散无限维系统中的可观测量，其时间平均或系综平均的最紧可能界是什么？
• RQ2 能否将有限维系统中的极小极大优化框架扩展至无限维情形，同时保持最优性与对偶结构？
• RQ3 在不依赖显式解知识的前提下，能多大程度上仅基于系统的不变测度推导出紧确界？
• RQ4 在缺乏轨迹层面信息的情况下，系统演化规律与辅助测试泛函之间的对偶性如何产生最优界？
• RQ5 柱状测试泛函在无限维相空间中构造最优界的过程中起什么作用？

主要发现

• 时间或系综平均的最优界通过一个极小极大公式实现，即在相空间的某个子集上最大化，并在一族柱状测试泛函上最小化。
• 该方法在无需显式解数据的情况下即可获得紧确界，仅依赖于系统的不变测度或演化规律。
• 该框架将Tobasco、Goluskin与Doering（2017）在有限维情形下的极小极大结果推广至无限维系统，包括二维与三维不可压缩纳维-斯托克斯方程。
• 最优界由系统演化规律与辅助函数导数之间的对偶积表征，并嵌入目标泛函之中。
• 该方法适用于任何具有明确定义不变测度的耗散无限维系统，为估计长期平均行为提供系统性方法。
• 所得界在意义下是最优的，即无法使用相同类别的测试泛函与系统信息获得更紧的界。