[论文解读] Optimizing Variational Quantum Algorithms using Pontryagin's Minimum Principle

Zhi-Cheng Yang, Armin Rahmani+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文应用庞特里亚金极小值原理，证明在固定演化时间下，组合优化的最优变分量子算法（VQA）表现出一种bang-bang控制协议——控制参数在0和1之间突变切换。最优脉冲持续时间与系统尺寸无关，由哈密顿量中的耦合常数的倒数决定，显著减少了变分参数数量，并在噪声环境下优于传统量子退火。

ABSTRACT

We use Pontryagin's minimum principle to optimize variational quantum algorithms. We show that for a fixed computation time, the optimal evolution has a bang-bang (square pulse) form, both for closed and open quantum systems with Markovian decoherence. Our findings support the choice of evolution ansatz in the recently proposed Quantum Approximate Optimization Algorithm. Focusing on the Sherrington-Kirkpatrick spin-glass as an example, we find a system-size independent distribution of the duration of pulses, with characteristic time scale set by the inverse of the coupling constants in the Hamiltonian. The optimality of the bang-bang protocols and the characteristic time scale of the pulses provide an efficient parameterization of the protocol and inform the search for effective hybrid (classical and quantum) schemes for tackling combinatorial optimization problems. For the particular systems we study, we find numerically that the optimal nonadiabatic bang-bang protocols outperform conventional quantum annealing in the presence of weak white additive external noise and weak coupling to a thermal bath modeled with the Redfield master equation.

研究动机与目标

• 建立量子近似优化算法（QAOA）中使用的方波脉冲（bang-bang）ansatz 的严格理论基础。
• 利用最优控制理论，确定在固定计算时间下变分量子算法的最优控制协议。
• 分析非绝热bang-bang协议在弱外部噪声和热退相干下的鲁棒性。
• 识别最优脉冲持续时间的与系统尺寸无关的特性，以减少变分参数数量。
• 为组合优化的高效混合经典-量子算法设计提供指导。

提出的方法

• 将VQA建模为由时变哈密顿量 $ H_g(t) = \sum_\alpha g_\alpha(t) H_\alpha $ 控制的闭环学习控制问题，其中 $ g(t) \in \{0,1\} $。
• 应用庞特里亚金极小值原理，推导最优控制的必要条件，表明最优 $ g(t) $ 必须为bang-bang形式。
• 推导切换条件 $ \partial \mathcal{H}/\partial g = 0 $ 以确定脉冲边界，其中 $ \mathcal{H} $ 为最优控制问题的哈密顿量。
• 利用伴随变量的时间演化分析脉冲持续时间的动力学，特别是在 $ g(t) = 1 $ 的区间内，其演化由 $ e^{-i(C_z - C_{\bar{z}(k)})(t-t_0)} $ 控制。
• 在谢林顿-柯克帕特里克自旋玻璃模型上进行数值模拟，以验证分析预测。
• 通过能量差 $ \Delta C_{z,k} = C_z - C_{\bar{z}(k)} $ 分析脉冲的时间尺度，其方差为 $ \overline{\Delta C_{z,k}^2} = 4(J^2 + h^2) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在固定演化时间下，bang-bang控制协议是否为变分量子算法的最优选择？
• RQ2 最优协议中单个脉冲的持续时间由什么决定？是否与系统尺寸相关？
• RQ3 在噪声条件下，最优非绝热bang-bang协议与传统量子退火相比性能如何？
• RQ4 由于脉冲持续时间与系统尺寸无关，是否可借助少量变分参数高效参数化最优协议？
• RQ5 能量尺度 $ \sqrt{J^2 + h^2} $ 在决定脉冲持续时间特征时间尺度中起什么作用？

主要发现

• 在固定时间下，变分量子算法的最优协议为bang-bang形式，控制参数在0和1之间突变切换。
• 最优协议中的脉冲持续时间与系统尺寸无关，由耦合常数的倒数决定，其特征时间尺度为 $ \sim 1/\sqrt{J^2 + h^2} $。
• 与线性斜坡量子绝热算法相比，最优非绝热bang-bang协议显著降低了最终态误差。
• 在弱白噪声和弱热 bath 耦合条件下，bang-bang协议相对于传统量子退火的性能优势依然存在。
• 数值结果表明脉冲持续时间的分布与系统尺寸无关，支持使用少量参数进行高效经典优化。
• 最优协议中的每个脉冲均由可对易的一或两量子比特项组成，可通过单量子比特和两量子比特门的序列实现。