[论文解读] Oriented Matroid Theory as a Mathematical Framework for M-Theory

J. A. Nieto|ArXiv.org|Jun 13, 2005

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文提出将定向拟阵理论作为M-Theory的数学框架，利用对偶性作为基本对称性。通过利用chirotope及其对偶形式表述p-brane作用量，推导出一个统一的作用量，结合了p-brane与其对偶的p⊥-brane，借助Farkas性质和Grassmann-Plücker关系保持对偶对称性。

ABSTRACT

We claim that $M$(atroid) theory may provide a mathematical framework for an underlying description of $M$-theory. Duality is the key symmetry which motivates our proposal. The definition of an oriented matroid in terms of the Farkas property plays a central role in our formalism. We outline how this definition may be carried over $M$-theory. As a consequence of our analysis we find a new type of action for extended systems which combines dually the $p$-brane and its dual $p^{\perp}$-brane.

研究动机与目标

• 建立基于对偶对称性的M-Theory数学基础。
• 探索定向拟阵理论是否能系统地编码p-brane物理中的对偶性。
• 通过chirotope对偶性构建一个统一作用量，结合p-brane及其对偶p⊥-brane。
• 证明Farkas性质和Grassmann-Plücker关系在p-brane作用量中自然出现。
• 提出一个M-Theory的划分函数，使其在(S, S⊥)的所有子式中均自然保持对偶性。

提出的方法

• 通过满足交替性与Grassmann-Plücker关系的chirotope χ: E^r → {−1, 0, 1} 定义定向拟阵。
• 利用切空间向量 v_a^μ = ∂_a x^μ(ξ) 将chirotope表示为 σ^μ₁…μ_{p+1} = ε^{a₁…a_{p+1}} v_a¹^μ₁ … v_a^{p+1}^μ_{p+1}。
• 通过E中的排列符号与补集定义对偶chirotope χ*。
• 在切丛的竖直与水平空间上，利用 ∗σ^μ_{p+2}…μ_{d+1} 推导对偶作用量。
• 通过引入一个拉格朗日乘子γ，将σ与∗σ项统一于单一积分中，构造作用量 S_{(p,p⊥)}。
• 利用唯一的(d+1)-形式chirotope ε^{μ₁…μ_{d+1}} 确保组合作用量的完全反对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 定向拟阵理论能否提供一个基于对偶性的M-Theory系统性数学框架？
• RQ2 p-brane与其对偶p⊥-brane之间的对偶性如何在统一作用量中编码？
• RQ3 Farkas性质在连接拟阵理论与p-brane动力学中起什么作用？
• RQ4 所提出的S_{(p,p⊥)}作用量是否唯一且在chirotope对偶化下保持不变？
• RQ5 能否定义一个M-Theory的划分函数，使得对偶对称性在(S, S⊥)的所有子式中均被保留？

主要发现

• 推导出一个新的作用量 S_{(p,p⊥)}，它对偶地结合了p-brane及其对偶p⊥-brane，保持了对偶对称性。
• 当 d+1 = 2n 时，作用量 S_{(p,p⊥)} 退化为Zaikov自对偶作用量，与已知的自对偶模型相联系。
• chirotope σ^μ₁…μ_{p+1} 及其对偶 ∗σ^μ_{p+2}…μ_{d+1} 由定向拟阵结构唯一确定。
• S_{(p,p⊥)} 作用量比单独的p-brane与p⊥-brane作用量更一般，因为当任一组分孤立时，其值不为零。
• 使用(d+1)-形式chirotope ε^{μ₁…μ_{d+1}} 确保了组合作用量的完全反对称性与唯一性。
• 划分函数 Z_{(S,S⊥)} = ∫DX exp(S_{(1,5)}(S,S⊥)) 描述了在d+1=8维空间中1-brane与5-brane的量子动力学同时作用。