[论文解读] Ostrowski type inequalities involving the right Caputo fractional derivatives belong to L_{p}

Mehmet Zeki Sarıkaya|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用 8

一句话总结

该论文通过利用带积分余项的右Caputo分数阶泰勒公式，在 $L_p$ 空间（$1 \leq p \leq \infty$）中建立了新的Ostrowski型不等式，涉及右Caputo分数阶导数。其主要贡献在于：通过分数阶导数和Riemann-Liouville积分的范数，推导出函数与其积分平均值偏差的精确界，将经典的Ostrowski不等式推广至具有 $L_p$-可积导数的分数阶微积分框架。

ABSTRACT

In this paper, we have established Ostrowski type inequalities involving the right Caputo fractional derivatives belong to L_{p} spaces (1\leq p \leq \infty) via the right Caputo fractional Taylor formula with integral remainder.

研究动机与目标

• 将经典的Ostrowski不等式推广至右Caputo分数阶导数在 $L_p$ 空间中的情形。
• 填补当高阶分数阶导数属于 $L_p$ 而非 $L_\infty$ 或 $L_1$ 时，Ostrowski型不等式研究中的空白。
• 通过引入右Caputo分数阶导数的 $L_p$-范数，推广现有的分数阶Ostrowski不等式。
• 在 $L_p$ 假设下，统一并改进Anastassiou关于分数阶Ostrowski不等式的先前结果。

提出的方法

• 利用带积分余项的右Caputo分数阶泰勒公式，将函数表示为其分数阶导数的形式。
• 应用Hölder不等式，控制积分余项中分数阶导数项的 $L_p$-范数。
• 采用Riemann-Liouville分数阶积分 $J_{a+}^{\alpha}$ 来界定涉及端点函数值的余项。
• 通过将分数阶泰勒展开式与测试函数相乘并在 $[a,b]$ 上积分，推导出不等式。
• 利用假设 $f^{(k)}(b) = 0$（$k=1,\dots,m-1$）简化泰勒展开，从而分离出分数阶导数项。
• 应用范数估计与积分不等式，界定函数与其在 $[a,b]$ 上平均值之间的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Ostrowski型不等式推广至右Caputo分数阶导数属于 $L_p$ 空间（$1 \leq p \leq \infty$）的函数？
• RQ2 当右Caputo分数阶导数属于 $L_p$ 时，函数与其积分平均值偏差的最优界是什么？
• RQ3 所得不等式如何与经典Ostrowski不等式及Anastassiou型不等式相关联并实现推广？
• RQ4 带积分余项的分数阶泰勒公式能否有效用于推导Ostrowski型不等式的 $L_p$-范数估计？
• RQ5 Riemann-Liouville分数阶积分在优化基于 $L_p$ 的Ostrowski不等式界中起到何种作用？

主要发现

• 当 $D_{b-}^{\alpha}f, D_{b-}^{\alpha}g \in L_\infty$ 时，不等式界为 $\|D_{b-}^{\alpha}f\|_{\infty} J_{a+}^{\alpha+1}|g(b)| + \|D_{b-}^{\alpha}g\|_{\infty} J_{a+}^{\alpha+1}|f(b)|$，推广了 $L_\infty$ 情形。
• 当 $D_{b-}^{\alpha}f, D_{b-}^{\alpha}g \in L_1$ 时，界变为 $\|D_{b-}^{\alpha}f\|_{L_1} J_{a+}^{\alpha}|g(b)| + \|D_{b-}^{\alpha}g\|_{L_1} J_{a+}^{\alpha}|f(b)|$，扩展了 $L_1$ 情形。
• 当 $D_{b-}^{\alpha}f, D_{b-}^{\alpha}g \in L_q$ 且 $p,q > 1$，$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，$\alpha > 1 - \frac{1}{p}$ 时，界为 $\Gamma(\alpha + \frac{1}{p}) \left( \|D_{b-}^{\alpha}f\|_{L_q} J_{a+}^{\alpha + \frac{1}{p}}|g(b)| + \|D_{b-}^{\alpha}g\|_{L_q} J_{a+}^{\alpha + \frac{1}{p}}|f(b)| \right)$，通过对偶性捕捉了 $L_p$ 情形。
• 当 $g(x) = 1$ 时，所得不等式退化为已知结果，验证了与Anastassiou早期基于 $L_p$ 的Ostrowski不等式的一致性。
• 使用带积分余项的右Caputo分数阶泰勒公式，能够精确控制余项，其依赖于分数阶导数的 $L_p$-范数。
• 结果是精确的，并将经典Ostrowski不等式推广至 $L_p$ 空间中的分数阶导数，为分数阶积分不等式提供了一个统一的框架。