[论文解读] $P$-alcoves and nonemptiness of affine Deligne-Lusztig varieties

Ulrich Goertz, Xuhua He+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文通过基于仿射根系和伽罗瓦作用的广义 $P$- alcove 概念——$(J,w,\delta)$-alcoves——对局部域上半单代数群中基本元素的仿射 Deligne-Lusztig 簇在仿射旗流形中的非空性给出了完整刻画。关键结果以 Kottwitz不变量和扭曲共轭的形式建立了非空性的充要条件，解决了分裂群情形下的一个猜想，并将其推广至可分的、正则的拟分裂群情形。

ABSTRACT

We study affine Deligne-Lusztig varieties in the affine flag manifold of an algebraic group, and in particular the question, which affine Deligne-Lusztig varieties are non-empty. Under mild assumptions on the group, we provide a complete answer to this question in terms of the underlying affine root system. In particular, this proves the corresponding conjecture for split groups stated in Görtz et al. (2010). The question of non-emptiness of affine Deligne-Lusztig varieties is closely related to the relationship between certain natural stratifications of moduli spaces of abelian varieties in positive characteristic.

研究动机与目标

• 精确确定当局部域上半单代数群中的 $b$ 为基本元素时，仿射 Deligne-Lusztig 簇 $X_x(b)$ 非空的条件。
• 将 $P$-alcove 的概念推广至非分裂、可分的群情形下的 $(J,w,\delta)$-alcoves。
• 证明 Görtz 与 Rapoport 关于分裂群情形下非空性的猜想，并将其推广至一般情形的拟分裂、伴随型半单群。
• 基于仿射 Weyl 群、伽罗瓦作用 $\delta$ 和 Kottwitz 不变量 $\kappa_{M_J}$，建立非空性的组合判别准则。

提出的方法

• 引入 $(J,w,\delta)$-alcove 的概念，作为 $P$-alcove 的推广，其定义基于有限 Weyl 群部分的约束以及相对于 $\delta$-不变子集 $J\subset \SS$ 的仿射部位置。
• 利用 Kottwitz 映射 $\kappa_{M_J}$ 比较 Levi 子群 $M_J$ 中的 $\sigma$-共轭类，将几何非空性与算术不变量联系起来。
• 通过群论结构中的约化技术，将一般情形约化为拟分裂、伴随型半单群的情形。
• 应用元素 $x\in\tilde{W}$ 的性质 (NLO)，要求存在一个 $J$-不变子集及 $w\in W$，使得 $x\mathbf{a}$ 是一个 $(J,w,\delta)$-alcove，且 $\kappa_{M_J}(w^{-1}x\delta(w))$ 属于 $[b]\cap M_J(L)$ 的像集。
• 利用在扩展仿射 Weyl 群 $\tilde{W}$ 上的扭曲共轭作用 $\delta$ 分析 $x$ 的结构，并将其与 Newton 和 Kottwitz 不变量关联。
• 借助 $\delta$-扭曲共轭类中最小长度代表元的结果，证明当 $x$ 满足性质 (NLO) 时，非空性成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $b$ 为基本元素时，对于哪些 $x\in\tilde{W}$，仿射 Deligne-Lusztig 簇 $X_x(b)$ 是非空的？
• RQ2 非空性条件能否以仿射根系和伽罗瓦作用 $\delta$ 的形式进行组合刻画？
• RQ3 Görtz 与 Rapoport 关于分裂群情形下非空性的猜想能否推广至可分的拟分裂群？
• RQ4 Kottwitz 不变量 $\kappa_{M_J}$ 在决定 $X_x(b)$ 非空性方面起什么作用？
• RQ5 $(J,w,\delta)$-alcove 的结构如何在非分裂情形下改进 $P$-alcove 的概念？

主要发现

• 本文建立了当 $b$ 为基本元素时 $X_x(b)\neq\emptyset$ 的充要条件：$X_x(b)\neq\emptyset$ 当且仅当存在一对 $(J,w)$，使得 $x\mathbf{a}$ 是一个 $(J,w,\delta)$-alcove，且 $\kappa_{M_J}(w^{-1}x\delta(w))\notin\kappa_{M_J}([b]\cap M_J(L))$。
• Görtz 与 Rapoport 在分裂群情形下的猜想得到完全解决，并推广至拟分裂、伴随型半单群的情形。
• $X_x(b)$ 的非空性完全由仿射 Weyl 群、伽罗瓦作用 $\delta$ 和 Kottwitz 不变量 $\kappa_{M_J}$ 的组合结构决定，与具体模型（混合特征或相等特征）无关。
• 引入了性质 (NLO) 作为非空性的充分条件：若 $x$ 满足 (NLO)，则 $X_x(b)\neq\emptyset$，该结论通过约化至 $\delta$-扭曲共轭类中的最小长度代表元得以证明。
• 对于满足 (NLO) 的最小长度元素 $y$，有 $X_y(b)\neq\emptyset$ 当且仅当 $y$ 与 $b$ 是 $\sigma$-共轭的，这等价于 Newton 不变量与 Kottwitz 不变量匹配。
• 该结果可推广至收缩的 Weyl 房间：若 $x$ 位于收缩房间，$\kappa_G(x)=\kappa_G(b)$，且 $\eta_\delta(x)\notin\bigcup_{J\subsetneq\SS,\delta(J)=J} W_J$，则 $X_x(b)\neq\emptyset$。