[论文解读] P is a proper subset of NP

Jerrald Meek|ArXiv.org|Apr 7, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过证明当子句数量趋近无穷时，任何NP完全问题的确定性多项式时间解法都必须处理无限多组输入，从而论证P是NP的真子集。核心贡献为P = NP优化定理，表明只有有限且多项式有界的搜索才能满足P = NP，但此类搜索划分属于FEXP复杂度类，因此P = NP不可实现。

ABSTRACT

The purpose of this article is to examine and limit the conditions in which the P complexity class could be equivalent to the NP complexity class. Proof is provided by demonstrating that as the number of clauses in a NP-complete problem approaches infinity, the number of input sets processed per computation performed also approaches infinity when solved by a polynomial time solution. It is then possible to determine that the only deterministic optimization of a NP-complete problem that could prove P = NP would be one that examines no more than a polynomial number of input sets for a given problem. It is then shown that subdividing the set of all possible input sets into a representative polynomial search partition is a problem in the FEXP complexity class. The findings of this article are combined with the findings of other articles in this series of 4 articles. The final conclusion will be demonstrated that P =/= NP.

研究动机与目标

• 严格检验P可能等于NP的条件，尤其针对NP完全问题。
• 证明NP完全问题的确定性多项式时间解法在问题规模增大时，需处理无限多组输入。
• 确立任何可行的P = NP优化必须限于多项式有界输入集，且此类输入集被证明属于FEXP复杂度类。
• 通过一系列定理逐步缩小P = NP的理论要求，最终证明P ≠ NP。
• 整合四篇相关论文的研究成果，确凿论证P = NP不可实现。

提出的方法

• 分析NP完全问题在子句数量趋近无穷时，多项式时间计算速率的极限行为。
• 提出P = NP优化定理（定理4.4），证明只有有限且多项式有界的输入集数量才能在多项式时间内处理。
• 证明将完整输入空间划分为代表性多项式搜索子集的问题属于FEXP复杂度类。
• 利用非确定性图灵机模型，阐明NP完全性的本质及确定性模拟的局限性。
• 应用Horowitz和Sahni（1974）的结果，验证NP完全优化定理。
• 基于专家反馈和同行评审的迭代修订，特别是Stephen Cook的建议，以完善逻辑结构并纠正早期错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下P可能等于NP，尤其是针对NP完全问题？
• RQ2 NP完全问题的确定性多项式时间解法中，输入集处理速率的渐近行为如何？
• RQ3 确定性多项式时间算法是否能仅处理多项式数量的输入集来解决NP完全问题？
• RQ4 将所有可能的输入集划分为代表性多项式搜索子集的问题，是否可在多项式时间内判定？
• RQ5 若此类划分存在于FEXP复杂度类中，是否意味着P ≠ NP？

主要发现

• 当NP完全问题的子句数量趋近无穷时，任何确定性多项式时间解法中每一步计算所处理的输入集数量也趋近无穷。
• 确定性多项式时间算法唯一可能解决NP完全问题的方式，是仅检查不超过多项式数量的输入集。
• 将所有可能输入集划分为代表性多项式搜索子集的问题属于FEXP复杂度类。
• P = NP优化定理经专家评审和逻辑修订后得到确认，确立了P = NP的必要条件。
• NP完全优化定理最初被专家评审推翻，后被新的P = NP划分时间定理取代。
• 本研究及三篇后续论文的综合发现表明P ≠ NP，且P是NP的真子集。