[论文解读] The Complexity of Computing Optimal Assignments of Generalized Propositional Formulae

Steffen Reith, Heribert Vollmer|ArXiv.org|Sep 28, 1998

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文研究了在各种受限公式类中，寻找广义命题公式字典序最优满足赋值的计算复杂性。结果表明，对于每一类公式，该问题要么可在多项式时间内求解，要么属于 OptP 完全；而判断最优赋值中最大变量是否被赋值为 1 的判定问题，要么属于 P，要么属于 P^NP 完全。

ABSTRACT

We consider the problems of finding the lexicographically minimal (or maximal) satisfying assignment of propositional formulae for different restricted formula classes. It turns out that for each class from our framework, the above problem is either polynomial time solvable or complete for OptP. We also consider the problem of deciding if in the optimal assignment the largest variable gets value 1. We show that this problem is either in P or P^NP complete.

研究动机与目标

• 确定在各种限制下，寻找命题公式字典序最小或最大满足赋值的计算复杂性。
• 对判定问题进行复杂性分类：在最优赋值中，最大变量是否被赋值为 1。
• 建立二分定理：对于每个受限公式类，该问题要么属于 P，要么属于 OptP 完全。
• 分析最优赋值问题与复杂性类 OptP 和 P^NP 之间的关系。
• 为理解命题逻辑中最优赋值计算的可 tractability 与不可 tractability 提供一个全面的框架。

提出的方法

• 使用逻辑门框架并利用逻辑运算的封闭性，形式化广义命题公式。
• 应用计算复杂性理论中的二分定理，对最优赋值问题的复杂性进行分类。
• 通过归约方法，根据公式类的不同，证明其属于 OptP 完全或 P^NP 完全。
• 分析公式类的结构，以确定字典序最优性是否可高效计算。
• 利用已知的计数与优化复杂性类结果（例如 OptP、P^NP）推导复杂性界。
• 利用逻辑封闭性质和表达力层次，刻画可 tractable 与不可 tractable 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些广义命题公式类中，计算字典序最小满足赋值是可 tractable 的？
• RQ2 当公式类受到限制时，最优赋值问题的精确复杂性类是什么？
• RQ3 在什么情况下，判断最优赋值中最大变量是否被赋值为 1 的问题属于 P，而在什么情况下属于 P^NP 完全？
• RQ4 能否为受限公式类上的最优赋值问题建立二分定理？
• RQ5 复杂性类 OptP 和 P^NP 与本框架中命题公式的结构有何关系？

主要发现

• 对于每个受限的广义命题公式类，计算字典序最小或最大满足赋值的问题，要么属于 P，要么属于 OptP 完全。
• 判断最优赋值中最大变量是否被赋值为 1 的问题，要么属于 P，要么属于 P^NP 完全。
• 该分类是紧致的：在给定框架下，不会出现中间复杂性类。
• 该结果基于 P ≠ NP 的假设成立，因为分类依赖于标准复杂性理论层次结构。
• 该框架允许基于句法限制，对命题逻辑中的优化问题进行系统性分析。
• 本文为命题逻辑中的优化问题建立了二分定理，将已知的判定问题结果扩展到了优化设置。