[论文解读] Parametric Furstenberg Theorem on Random Products of $SL(2, \mathbb{R})$ matrices

Anton Gorodetski, Victor Kleptsyn|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 54被引用 5

一句话总结

本文建立了Furstenberg关于随机乘积的$SL(2,\mathbb{R})$矩阵的参数化版本，证明在参数单调依赖的条件下，上李雅普诺夫指数对所有参数均为正（依Furstenberg定理），而下李雅普诺夫指数在零Hausdorff维数的稠密$G_\delta$集合上为零。该方法为具有随机势的1维薛定谔算符的谱安德森局域化提供了几何证明。

ABSTRACT

We consider random products of $SL(2, \mathbb{R})$ matrices that depend on a parameter in a non-uniformly hyperbolic regime. We show that if the dependence on the parameter is monotone then almost surely the random product has upper (limsup) Lyapunov exponent that is equal to the value prescribed by the Furstenberg Theorem (and hence positive) for all parameters, but the lower (liminf) Lyapunov exponent is equal to zero for a dense $G_δ$ set of parameters of zero Hausdorff dimension. As a byproduct of our methods, we provide a purely geometrical proof of Spectral Anderson Localization for discrete Schrödinger operators with random potentials (including the Anderson-Bernoulli model) on a one dimensional lattice.

研究动机与目标

• 在$SL(2,\mathbb{R})$设定下，建立Furstenberg关于随机矩阵乘积定理的参数化扩展。
• 在单调依赖条件下，分析上、下李雅普诺夫指数作为参数函数的行为。
• 证明尽管上指数始终保持为正，下李雅普诺夫指数仍在零Hausdorff维数的稠密$G_\delta$集合上为零。
• 将该方法应用于提供离散1维晶格上薛定谔算符谱安德森局域化的纯几何证明。

提出的方法

• 分析矩阵依赖于参数$\alpha$且单调依赖的随机矩阵乘积。
• 通过圆周映射的提升和迭代上链的几何论证，控制矩阵乘积的增长。
• 对转移矩阵在实直线上迭代作用的新型归纳论证，追踪轨道的畸变与分离。
• 建立差值$\tilde{G}_{\alpha,n,\omega}(x) - \tilde{G}_{-\alpha,n,\omega}(x)$的下界，以证明非平凡增长并避免下指数为零。
• 利用$SL(2,\mathbb{R})$上链的结构及在圆周上的射影作用动力学，推导一致估计。
• 利用上李雅普诺夫指数对所有参数保持不变的事实（由Furstenberg原始定理保证），而下指数通过残集集论证被证明为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$SL(2,\mathbb{R})$矩阵乘积的单调参数族中，上李雅普诺夫指数是否对所有参数均保持为正？
• RQ2 下李雅普诺夫指数为零的参数集合具有何种结构？
• RQ3 参数化Furstenberg定理能否用于建立随机薛定谔算符的谱局域化？
• RQ4 是否存在一种避免使用概率或谱论工具的安德森局域化几何证明？
• RQ5 参数的单调性如何影响随机矩阵乘积的李雅普诺夫谱？

主要发现

• 在区间内所有参数下，上（上极限）李雅普诺夫指数等于Furstenberg值$\lambda_F > 0$，这由Furstenberg定理保证。
• 下（下极限）李雅普诺夫指数在参数的稠密$G_\delta$集合上为零，且该集合的Hausdorff维数为零。
• 所发展的几何方法允许对1维安德森-伯努利模型及更一般的随机势，提供谱安德森局域化的纯几何证明。
• 该证明依赖于通过畸变估计和实直线上的提升动力学，在上链作用下构造轨道分离的统一下界。
• 结果展示了在参数族中，即使上指数连续且为正，上下李雅普诺夫指数之间仍存在显著差异。
• 该方法适用于有限随机乘积，并得出一个关键技术估计：对充分大的$n$，有$\tilde{G}_{\alpha,n,\omega}(x_v) - \tilde{G}_{-\alpha,n,\omega}(x_v) > 1$，意味着非平凡增长。