[论文解读] Pecan: An Automated Theorem Prover for Automatic Sequences using Büchi Automata

Reed Oei, Dun Ma+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2021

semigroups and automata theory参考文献 13被引用 6

一句话总结

Pecan 是一个用于 Sturmian 词的自动定理证明器，利用 Büchi 自动机来推理自动序列的无限族。通过利用 Büchi 自动机处理不可数族，并集成自定义记数系统和元编程语言，Pecan 高效地证明了关于 Sturmian 词的经典与新定理——尽管理论复杂度较高，仍展现出实际性能。

ABSTRACT

Pecan is an automated theorem prover for reasoning about properties of Sturmian words, an important object in the field of combinatorics on words. It is capable of efficiently proving non-trivial mathematical theorems about all Sturmian words.

研究动机与目标

• 开发一种通用的 Büchi-自动序列决策过程，特别是针对如 Sturmian 词这样的不可数族。
• 实现对所有由实参数（斜率 α 和截距 ρ）索引的 Sturmian 词的自动推理，而非单个实例。
• 扩展现有工具（如 Walnut）的功能，通过使用 Büchi 自动机而非有限自动机，支持不可数族。
• 提供用户友好的界面，支持自定义记数系统、类型和元编程语言（Praline），用于定义和证明性质。
• 在非平凡定理上展示实际性能，包括新结果的发现和经典词论定理的重新证明。

提出的方法

• 将 Sturmian 词表示为由无理数斜率 α ∈ (0,1) 和截距 ρ ∈ [0,1) 参数化的族，使用公式 wn = ⌊nα + ρ⌋ − ⌊(n−1)α + ρ⌋。
• 使用非确定性 Büchi 自动机识别无限词及其族，实现对不可数参数空间的量化。
• 实现一种类型系统，支持多种记数系统（如 Ostrowski、基-b）以及用于索引和定义谓词的自定义类型。
• 集成一种元编程语言（Praline），以支持特设多态性和复杂谓词的模块化定义。
• 利用闭包性质（交集、并集、补集、投影）构建逻辑公式的自动机。
• 对生成的自动机执行空性检查，以判定关于所有 Sturmian 词的逻辑命题的真假。

实验结果

研究问题

• RQ1 Büchi 自动机能否有效用于推理不可数自动序列族（如所有 Sturmian 词）？
• RQ2 自动定理证明器能否处理涉及 Sturmian 词定义中实参数（α, ρ）量化的复杂逻辑命题？
• RQ3 Pecan 在 Sturmian 词上构建并评估常见组合谓词（如平方、回文、反平方）的自动机时，效率如何？
• RQ4 Pecan 能否自动重新证明关于 Sturmian 词的已知定理（如非周期性）并自动发现新数学结果？
• RQ5 当定理的逻辑复杂度增加，特别是涉及多个量词交替时，Pecan 的性能扩展到何种程度？

主要发现

• Pecan 在数分钟内成功重新证明了关于 Sturmian 词的经典定理（如其非周期性），展示了实际自动化能力。
• 系统在不到 100 秒内构建了一个包含超过 200 万个状态的 Büchi 自动机，用于谓词 'antisquare'，表明其在大规模状态数下仍具可扩展性。
• 对于涉及复杂量词交替（如 ∀ℝ∃²∀³）的定理，Pecan 在 500 秒内完成处理，生成的自动机最多包含 2000 万条边。
• 用于 'eventually periodic' 的自动机为空，证实了已知数学结论：没有任何 Sturmian 词是最终周期的。
• Pecan 证明了 18 个按复杂度分组的定理，其中最复杂的（涉及 ∀ℝ∀³∃⁴）耗时 156.6 秒，生成的自动机包含 2,032,240 个状态和 47,851,215 条边。
• 由于使用了 Büchi 自动机，Pecan 在处理不可数族方面优于 Walnut，实现了对所有 Sturmian 词的完整量化。