[论文解读] Penalty alternating direction methods for mixed-integer optimal control with combinatorial constraints

Simone Göttlich, Falk M. Hante+2 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Optimal Power Flow Distribution参考文献 42被引用 10

一句话总结

本文提出一种基于惩罚的交替方向法（ADM），用于求解具有组合约束（如最小停留时间）的混合整数最优控制问题。通过将问题分解为连续最优控制子问题与处理组合约束的混合整数线性规划，并利用惩罚项耦合二者，该方法实现了对部分极小值的收敛，并在电力网络和学术基准测试中优于启发式方法。

ABSTRACT

We consider mixed-integer optimal control problems with combinatorial constraints that couple over time such as minimum dwell times. We analyze a lifting and decomposition approach into a mixed-integer optimal control problem without combinatorial constraints and a mixed-integer problem for the combinatorial constraints in the control space. Both problems can be solved very efficiently with existing methods such as outer convexification with sum-up-rounding strategies and mixed-integer linear programming techniques. The coupling is handled using a penalty-approach. We provide an exactness result for the penalty which yields a solution approach that convergences to partial minima. We compare the quality of these dedicated points with those of other heuristics amongst an academic example and also for the optimization of electric transmission lines with switching of the network topology for flow reallocation in order to satisfy demands.

研究动机与目标

• 解决具有时间耦合组合约束（如最小停留时间）的混合整数最优控制问题的挑战，此类问题难以通过标准分解方法处理。
• 开发一种分解框架，将连续控制动力学与组合逻辑分离，从而为每个组件设计高效的求解策略。
• 通过基于惩罚的ADM方法实现对部分极小值的收敛，并提供精确性保证，优于仅依赖启发式的方法。
• 在解的质量和计算效率方面，将所提方法与直接离散化、带求和取整（POC-SUR）的外凸化方法以及组合积分近似（CIAP）方法进行比较。
• 在实际应用中验证该方法的有效性，如具有潮流重分配约束的电力输电网络中的最优切换问题。

提出的方法

• 将原始的混合整数最优控制问题分解为两个子问题：通过部分外凸化处理的连续最优控制问题，以及处理组合约束的混合整数线性规划问题。
• 使用交替方向法（ADM）迭代求解这两个子问题，通过惩罚项实现两者的耦合。
• 采用惩罚方法并结合自适应惩罚参数更新策略，确保收敛至部分极小值，利用惩罚公式精确性的理论结果作为支撑。
• 在POC步骤中引入求和取整（SUR）策略，以处理二值控制的近似，确保连续松弛问题的可行性。
• 采用升维技术将组合约束嵌入更高维空间，从而通过混合整数线性规划实现高效求解。
• 采用有限体积离散化方法，结合前向欧拉时间推进格式实现算法实现，基于每条线路4个体积、10^4个时间步的电力输电网络案例研究进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于惩罚的ADM框架是否能在具有时间耦合组合约束的混合整数最优控制问题中实现对部分极小值的收敛？
• RQ2 所提ADM方法在目标函数值和可行性方面，与启发式方法（如POC-SUR和CIAP）相比，解的质量如何？
• RQ3 惩罚参数自适应策略的选择在多大程度上影响ADM方法的收敛性和目标性能？
• RQ4 所提方法是否能有效处理实际应用，如具有最小停留时间约束的电力输电网络中的最优切换问题？
• RQ5 将连续部分与组合部分分离的分解策略，是否相比直接的混合整数规划方法，能带来更好的计算效率和解的质量？

主要发现

• 基于惩罚的ADM方法在升维意义下收敛至部分极小值，理论保证基于惩罚精确性，优于仅依赖启发式的方法。
• 在最小停留时间τmin = 1的电力输电网络案例中，采用CIAP的ADM解的目标函数值为3.9129098172，不采用CIAP的解为3.8297628767，表明对惩罚自适应策略具有鲁棒性。
• 采用CIAP的ADM对惩罚自适应因子表现出显著依赖性，而未使用CIAP的ADM则基本不受影响，表明CIAP引入了对参数调优的敏感性。
• 在电力网络场景中，基于ADM的启发式方法所提供的电能供应更接近需求，尤其在最小停留时间约束下优于SUR和CIAP，且切换频率低于CIAP。
• 该方法生成的连续控制具有比二值控制更小的跳跃幅度，表明其控制轨迹更平滑、更具实际可行性。
• 数值结果证实，与POC-SUR和CIAP相比，所提方法能产生更优的启发式解，尤其在较大停留时间下表现更优，且适合作为精确全局优化框架中快速生成可行解的初始化工具。