[论文解读] Periodic homogenization using the Lippmann--Schwinger formalism

Sébastien Brisard, Frédéric Legoll|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文对周期均质化的Lippmann–Schwinger形式化进行了数学分析，将其重新表述为积分方程的渐近一致Galerkin离散化。在较弱假设下证明了收敛性并给出了先验误差估计，3D线弹性应用显示误差与网格尺寸h成正比，且采用高效的并行FFT求解器。

ABSTRACT

When homogenizing elliptic partial differential equations, the so-called corrector problem is pivotal to compute the macroscale effective coefficients from the microscale information. To solve this corrector problem in the periodic setting, Moulinec and Suquet introduced in the mid-nineties a numerical strategy based on the reformulation of that problem as an integral equation (known as the Lippmann--Schwinger equation), which is then suitably discretized. This results in an iterative, matrix-free method, which is of particular interest for complex microstructures. Since the seminal work of Moulinec and Suquet, several variants of their scheme have been proposed. The aim of this contribution is twofold. First, we provide an overview of these methods, recast in the language of the applied mathematics community. These methods are presented as asymptotically consistent Galerkin discretizations of the Lippmann--Schwinger equation. The bilinear form arising in the weak form of this integral equation is indeed the sum of a local and a non-local term. We show that most of the variants proposed in the literature correspond to alternative approximations of this non-local term. Second, we propose a mathematical analysis of the discretized problem. In particular, we prove under mild hypotheses the convergence of these numerical schemes with respect to the grid-size. We also provide a priori error estimates on the solution. The article closes on a three-dimensional numerical application within the framework of linear elasticity.

研究动机与目标

• 为周期均质化中的Lippmann–Schwinger方法提供统一的数学框架，将现有数值格式用应用数学的语言重新表述。
• 通过将Moulinec–Suquet格式的各种变体解释为Lippmann–Schwinger积分方程的Galerkin离散化，分析其收敛性。
• 在系数场具有较弱正则性假设下，为离散解建立先验误差估计。
• 通过基于FFT的迭代求解器，在三维线弹性数值应用中验证理论结果。
• 通过并行实现与性能分析，展示方法的效率与可扩展性。

提出的方法

• 利用参考介质的格林函数，将周期校正问题重新表述为Lippmann–Schwinger积分方程。
• 采用分片常数有限元基函数的Galerkin方法对积分方程进行离散化，得到具有矩阵自由结构的线性系统。
• 通过使用不同的求积规则近似弱形式中的非局部项，对应于不同格式的变体。
• 在谱空间中利用快速傅里叶变换（FFT）高效计算积分项引起的卷积运算。
• 使用共轭梯度法求解所得线性系统，矩阵-向量乘积通过FFT计算，实现矩阵自由运算。
• 采用域分解与MPI实现并行化，通过通信优化的数据分布实现跨多处理器的可扩展计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 现有周期均质化Lippmann–Schwinger格式能否系统地解释为积分方程的Galerkin离散化？
• RQ2 在系数场假设最弱的条件下，这些格式的收敛性如何？
• RQ3 能否在网格尺寸h方面为离散解建立先验误差估计？
• RQ4 数值实验中观察到的收敛速率是否与理论预测一致，特别是在系数为分片常数时？
• RQ5 该方法在并行化方面效率如何？在扩展到大量处理器时，瓶颈在哪里？

主要发现

• 在较弱假设下，所提格式关于网格尺寸h收敛，且Galerkin格式的收敛性已严格证明。
• 建立了先验误差估计，表明误差被Ch^δ所控制（δ < 1），数值结果表明实际收敛速率更接近h。
• 对于具有分片常数材料特性的3D线弹性问题，有效剪切模量A^⋆_xyxy随网格细化而增加，512³与1024³网格间差异为2%。
• 有效系数中的数值误差与h成正比，表明收敛速率优于理论界，可能由于系数场具有更高正则性。
• 每次共轭梯度迭代的计算成本呈N³ log N量级，总时间呈N³ log N × 迭代次数量级，且当N较大时，T / (N³ log N × N_iter)趋近于常数。
• 并行性能在4个进程时效率约0.9，但在8个进程时下降至约0.6，表明通信开销限制了中等规模进程数以上的可扩展性。