[论文解读] Periodic measures and partially hyperbolic homoclinic classes

Christian Bonatti, Jinhua Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 28被引用 4

一句话总结

该论文证明，在具有一维中心的 $C^1$-泛性鲁棒遍历部分双曲微分同胚中，所有由鲁棒环路生成的非双曲遍历测度均可被周期测度逼近。遍历测度集合的闭包是两个凸集的并集——分别对应于两种可能的 $s$-指标——二者精确相交于非双曲遍历测度闭包，从而在最小强 foliation 设置下证明了该闭包的凸性。

ABSTRACT

In this paper, we give a precise meaning to the following fact, and we prove it: $C^1$-open and densely, all the non-hyperbolic ergodic measures generated by a robust cycle are approximated by periodic measures. We apply our technique to the global setting of partially hyperbolic diffeomorphisms with one dimensional center. When both strong stable and unstable foliations are minimal, we get that the closure of the set of ergodic measures is the union of two convex sets corresponding to the two possible $s$-indices; these two convex sets intersect along the closure of the set of non-hyperbolic ergodic measures. That is the case for robustly transitive perturbation of the time one map of a transitive Anosov flow, or of the skew product of an Anosov torus diffeomorphism by rotation of the circle.

研究动机与目标

• 确定在鲁棒遍历部分双曲系统中，非双曲遍历测度是否可被周期测度逼近。
• 研究此类系统中遍历测度集合闭包的拓扑与测度论结构。
• 在强稳定与不稳定 foliation 最小的条件下，建立遍历测度闭包的凸性。
• 将 Sigmund 定理中关于周期测度逼近的结果，从一致双曲设置推广至非双曲、部分双曲动力系统。
• 解决在 $C^1$-泛性设置下，同调类中遍历测度闭包是否为凸的开放问题。

提出的方法

• 利用 [G1] 中的阴影引理，构造出在鲁棒环路附近紧密跟随非双曲测度轨道的周期轨道。
• 应用 [GIKN] 中的标准，验证非双曲遍历测度位于周期测度的闭包中。
• 对由鲁棒环路产生的周期轨道进行局部分析，以控制其双曲性与 $s$-指标。
• 利用强不稳定方向上的均匀膨胀性，以及对稳定流形的受控返回，构造出指标为一的周期轨道。
• 在局部不稳定流形上应用迭代动力系统，确保轨道段能以受控畸变方式逼近指定序列。
• 结合轨道段的拓扑控制与李雅普诺夫指数估计，确保目标测度可被周期测度逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $C^1$-拓扑下，鲁棒遍历部分双曲微分同胚中的非双曲遍历测度是否可被周期测度逼近？
• RQ2 当强稳定与不稳定 foliation 最小时，遍历测度集合的闭包是否为凸集？
• RQ3 在该类系统中，遍历测度集合闭包的结构如何体现 $s$-指标？
• RQ4 在存在鲁棒环路的情况下，指标为一的周期测度如何逼近非双曲遍历测度？
• RQ5 当动力系统存在非双曲不变测度时，遍历测度闭包的凸性是否仍然成立？

主要发现

• 在具有 $C^1$-泛性、一维中心和最小强 foliation 的鲁棒遍历部分双曲微分同胚中，遍历测度集合的闭包是两个凸集的并集，分别对应于两种可能的 $s$-指标。
• 这两个凸集精确相交于非双曲遍历测度集合的闭包。
• 在鲁棒环路邻域内的每一个非双曲遍历测度，都是周期测度的弱*极限。
• 通过结合阴影法与 [GIKN] 中的标准，证明了非双曲遍历测度集合的闭包是凸的。
• 指标为一的遍历测度集合在所有遍历测度的闭包中是稠密的，且其凸组合包含于周期测度集合的闭包中。
• 对于闭包中任意两个遍历测度 $\mu, \nu$，线段 $\alpha\mu + (1-\alpha)\nu$ 位于闭包中，从而证明了 $\overline{\mathcal{M}^*(f)}$ 的凸性。