[论文解读] Permanence properties of property A and coarse embeddability for locally compact groups

Steven Deprez, Kang Li|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用 10

一句话总结

本文建立了局部紧第二可数（l.c.s.c.）群中性质A与粗嵌入的持久性性质，表明在多种条件下（如格、余拟不变子群、正规扩张及测度等价性），这些性质可从闭子群提升至整个群。关键贡献是提出一个通用框架，结合适当的协边和对偶性质A，证明若子群具有性质A或可粗嵌入，则在适当的几何与动力学条件下，其所在群亦继承该性质。

ABSTRACT

If $H$ is a lattice in a locally compact second countable group $G$, then we show that $G$ has property A (respectively is coarsely embeddable into Hilbert space) if and only if $H$ has property A (respectively is coarsely embeddable into Hilbert space). Moreover, we show three interesting generalizations of this result. If $H$ is a closed subgroup of $G$ that is co-amenable in $G$, and if $H$ has property A (respectively, is coarsely embeddable into Hilbert space), then we show that $G$ has property A (respectively, is coarsely embeddable into Hilbert space). We also show that an extension of property A groups still has property A. On the coarse embeddability side, we show that if $\{e\} ightarrow H ightarrow G ightarrow Q ightarrow\{e\}$ is a short exact sequence, and if either $H$ is coarsely embeddable into Hilbert space and $Q$ has property A, or $H$ is compact and $Q$ is coarsely embeddable into Hilbert space, then $G$ is coarsely embeddable into Hilbert space. We extend the theory of measure equivalence to locally compact non-unimodular groups. In a natural way, we can also define measure equivalence subgroups. We show that property A and uniform embeddability into Hilbert space pass to measure equivalence subgroups. Using the same techniques, we show that also the Haagerup property, weak amenability and the weak Haagerup property pass to measure equivalence subgroups.

研究动机与目标

• 将性质A与粗嵌入的持久性结果从子群推广至更大的局部紧第二可数（l.c.s.c.）群。
• 将离散群情形下的已知结果推广至l.c.s.c.群的设定，特别关注格与余拟不变子群。
• 通过适当协边与对偶性质A，构建统一框架，以推导各类群论扩张下的持久性。
• 将测度等价性推广至非单模l.c.s.c.群，并证明性质A、粗嵌入及相关性质（Haagerup性质、弱可乘性）在测度等价性下保持不变。
• 通过将这些解析性质与带系数的装配映射的分裂单射性联系起来，为Baum-Connes猜想建立关联。

提出的方法

• 引入标准概率空间中一族Borel可测集的广义适当协边概念，受Jolissaint关于Haagerup性质工作的启发。
• 定义群G在标准概率空间X上非奇异作用下的对偶性质A（即(G, X)对），推广拓扑拟不变性的概念。
• 通过Koopman表示与子群H上的核k₀在X上积分，构造一个正定核k: G × G → ℂ。
• 利用协边恒等式与适当性，控制核k的支集与衰减性，确保其满足性质A或粗嵌入的条件。
• 利用集合{g⁻¹h : |k(g,h)| > δ}的预紧性在构造中得以保持，这对粗嵌入至关重要。
• 将该框架应用于具体情形：格、余拟不变子群、正规扩张与测度等价性，利用一般定理推导持久性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，闭子群H ⊂ G的性质A或粗嵌入性可推出其所在群G也具有相同性质？
• RQ2 离散群情形下的持久性结果能否推广至局部紧第二可数群的设定？
• RQ3 测度等价性如何推广至非单模l.c.s.c.群？哪些解析性质在该等价性下保持不变？
• RQ4 适当协边与对偶性质A在多大程度上可作为l.c.s.c.群中解析性质持久性的统一框架？
• RQ5 是否存在相对于一族集合的适当协边，使得性质A或粗嵌入性可从子群传递至整个群？

主要发现

• 若H ⊂ G是l.c.s.c.群G中的格，则G具有性质A（相应地，可粗嵌入）当且仅当H具有性质A（相应地，可粗嵌入）。
• 若H ⊂ G是闭的余拟不变子群，且H具有性质A（相应地，可粗嵌入），则G也具有性质A（相应地，可粗嵌入）。
• 若G是H对Q的扩张，其中H正规且Q具有性质A，或H紧致且Q可粗嵌入，则G可粗嵌入至希尔伯特空间。
• 性质A与粗嵌入在l.c.s.c.群的测度等价性下保持不变，将先前结果推广至非单模情形。
• Haagerup性质、弱可乘性与弱Haagerup性质在l.c.s.c.群的测度等价性下也保持不变。
• 通过在概率空间上积分构造核k: G × G → ℂ，可确保性质A或粗嵌入所需的衰减性与支集条件从子群继承至整个群。