[论文解读] Permissive Barrier Certificates for Safe Stabilization Using Sum-of-squares

Li Wang, Dongkun Han+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2018

Fault Detection and Control Systems参考文献 21被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种基于平方和（SOS）的方法，用于计算能够最大化安全稳定区域的宽松屏障证书——在非线性控制系统中同时确保稳定性和安全性。通过构造任意形状的屏障证书，而非依赖李雅普诺夫次水平集，该方法实现了严格更大的收缩且安全的区域，通过迭代SOS优化，实现了吸引域的非保守估计。

ABSTRACT

Motivated by the need to simultaneously guarantee safety and stability of safety-critical dynamical systems, we construct permissive barrier certificates in this paper that explicitly maximize the region where the system can be stabilized without violating safety constraints. An optimization strategy is developed to search for the maximum volume barrier certified region of safe stabilization. The barrier certified region, which is allowed to take any arbitrary shape, is proved to be strictly larger than safe regions generated with Lyapunov sublevel set based methods. The proposed approach effectively unites a Lyapunov function with multiple barrier functions that might not be compatible with each other. Iterative search algorithms are developed using sum-of-squares to compute the most permissive, that is, the maximum volume, barrier certificates. Simulation results of the iterative search algorithm demonstrate the effectiveness of the proposed method.

研究动机与目标

• 为解决安全关键控制系统中安全与稳定之间的冲突，传统方法可能因约束不兼容而失效。
• 开发一种方法，同时保证稳定性和安全性，而不放松李雅普诺夫条件，确保可证明的安全性和收敛性。
• 通过使用平方和规划优化屏障证书的形状和体积，计算尽可能大的安全稳定区域。
• 通过允许非椭球形、任意形状的收缩集，克服基于李雅普诺夫次水平集的吸引域估计的保守性。
• 提供一个统一框架，通过兼容的屏障证书综合，将多个可能不相容的屏障函数与李雅普诺夫函数整合。

提出的方法

• 该方法将宽松屏障证书构造为多项式不等式，定义一个收缩且安全的区域，其中证书通过设计与李雅普诺夫函数显式兼容。
• 它将优化问题表述为在SOS约束下最大化屏障证书所定义的安全稳定区域的体积，以确保屏障函数沿系统轨迹的导数非负。
• 该方法使用迭代SOS规划求解最大化屏障证书区域的非凸优化问题，通过矩理论将双线性矩阵不等式转化为凸松弛。
• 屏障证书不限于李雅普诺夫函数的次水平集，可采用任意多项式形状，从而扩展至传统椭球估计之外。
• 该方法确保系统状态保持在安全区域内并收敛至平衡点，通过验证屏障函数的李导数在区域内为负定。
• 采用迭代算法以逐步扩展认证区域，直至触及所有安全边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种屏障证书，使得所得的安全稳定区域严格大于基于李雅普诺夫次水平集所获得的区域？
• RQ2 如何将多个可能不相容的屏障函数与李雅普诺夫函数统一，以确保同时实现稳定性和安全性？
• RQ3 何种优化框架能够实现最宽松（最大体积）的屏障证书安全稳定区域的计算？
• RQ4 平方和规划能否高效求解最大化屏障证书区域的非凸问题，同时保持安全性和稳定性？
• RQ5 与传统次水平集方法相比，允许任意形状的屏障证书在吸引域估计中能多大程度上减少保守性？

主要发现

• 在2D示例（系统12）中，安全稳定区域的屏障认证区域从一个实心绿色椭圆（DoA估计 V ≤ 5.8628）扩展为由二阶多项式屏障 h(x) ≥ 0 定义的显著更大的虚线蓝色椭圆。
• 在3D示例（系统13）中，屏障认证区域（蓝色椭球）明显大于李雅普诺夫次水平集估计区域（黑色椭球），最大体积区域通过迭代SOS优化实现。
• 该方法在屏障认证区域内实现了100%的安全保证和完全稳定，无需放松李雅普诺夫条件。
• 迭代SOS算法成功将安全稳定区域扩展至触及所有安全约束边界，证明了其非保守性。
• 在3D情况下，屏障证书为二阶多项式，包含10个系数，其区域由 h(x) ≥ 0 定义，其中 h(x) = 114.3555 + 1.4686x₁ + 7.2121x₂ + 19.8479x₃ - 14.7734x₁² - 26.0129x₁x₂ - 15.5440x₁x₃ - 28.3492x₂² - 27.5651x₂x₃。
• 在两个示例中，所提方法始终优于基于李雅普诺夫次水平集的方法，屏障认证区域扩展至李雅普诺夫方法因接触单个安全约束而终止的点之外。