[论文解读] Persistent homology and microlocal sheaf theory

Masaki Kashiwara, Pierre Schapira|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文通过卷积引入的伪距离，建立了持久同调与微局部层理论之间的深层联系，证明了直接像的稳定性，并表明微支持位于极锥对偶中的构造层可由分段线性（PL）层逼近。其核心贡献是将条形码推广至高维情形，即作为在 γ-局部闭集分层上常值的 PL 层，从而将经典的单参数持久同调推广至多参数设置。

ABSTRACT

We interpret some results of persistent homology and barcodes (in any dimension) with the language of microlocal sheaf theory. For that purpose we study the derived category of sheaves on a real finite-dimensional vector space V. By using the operation of convolution, we introduce a pseudo-distance on this category and prove in particular a stability result for direct images. Then we assume that V is endowed with a closed convex proper cone $γ$ with non empty interior and study $γ$-sheaves, that is, constructible sheaves with microsupport contained in the antipodal to the polar cone (equivalently, constructible sheaves for the $γ$-topology). We prove that such sheaves may be approximated (for the pseudo-distance) by "piecewise linear" $γ$-sheaves. Finally we show that these last sheaves are constant on stratifications by $γ$-locally closed sets, an analogue of barcodes in higher dimension.

研究动机与目标

• 以微局部层理论的语言解释持久同调与条形码。
• 利用实向量空间 V 中的闭凸正规锥 γ，将单参数持久同调框架推广至多参数设置。
• 证明构造性 γ-层（微支持位于 γ 的极锥的对偶中）可由分段线性（PL）γ-层逼近。
• 定义并研究作为在 γ-局部闭分层上常值的 PL 层的高维条形码。
• 基于基于导出卷积的伪距离，建立映射扰动下直接像的稳定性结果。

提出的方法

• 通过 V 上的层卷积与 V 上选定的范数，在实向量空间 V 上的层的导出范畴上引入伪距离。
• 通过具有非空内部的闭凸正规锥 γ 定义 V 上的 γ-拓扑，并研究微支持位于 γ 的极锥对偶中的 γ-层作为构造层。
• 证明 γ-层范畴与赋予 γ-拓扑的 V 上层的导出范畴等价。
• 利用卷积与导出范畴技术，建立稳定性定理：dist(Rf₁*F, Rf₂*F) ≤ ||f₁ − f₂||，其中 f₁, f₂: X → V 为连续映射。
• 将 PL-层定义为在有限个超平面分层上局部常值的层，并证明任意构造层均可由此类 PL-层逼近。
• 将高维条形码构造为在 γ-局部闭集上常值的 PL-层，表明其可嵌入 PL-层范畴，但一般情况下不等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用微局部层理论重新表述一维持久同调与条形码？
• RQ2 能否利用层论工具将单参数持久同调框架推广至多参数设置？
• RQ3 γ-拓扑与 γ-层在组织高维持久同调结构中起什么作用？
• RQ4 如何在层上定义基于导出卷积的伪距离，以捕捉映射扰动下直接像的稳定性？
• RQ5 高维条形码是否与 PL-层等价，还是该嵌入是严格嵌入？

主要发现

• 通过卷积在实向量空间 V 上的层的导出范畴上定义了伪距离，使得在映射的小扰动下，直接像的稳定性结果得以成立。
• 稳定性定理表明，直接像 Rf₁*F 与 Rf₂*F 之间的距离被 f₁ − f₂ 的算子范数所控制。
• 任何微支持位于 γ 的极锥对偶中的 V 上的构造层，均可在此伪距离下由 PL-层逼近。
• PL-层在 γ-局部闭集上为常值，这些集合构成支撑的分层，从而将条形码概念推广至高维。
• 高维条形码被定义为在 γ-层上常值的 PL-层，但条形码范畴到 PL-层范畴的嵌入并非等价，反例已表明此点。
• 对于具有紧支集的层，提出一个猜想：此类层同构于在 γ-层范畴中为条形码的有界 PL-层复形。