[논문 리뷰] Perverse sheaves on a Loop group and Langlands' duality

Victor Ginzburg|ArXiv.org|1995. 11. 13.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 23인용 수 232

한 줄 요약

이 논문은 애질레이션 그라스만이 $\mathrm{Gr} = G(\overline{F}((z)))/G(\overline{F}[[z]])$ 위의 $G(\overline{F}[[z]])$-동차 편재한 편재 sheaf의 범주와 랑글랜드 이중군 $G^\lor$의 유한차원 유리형 표현의 범주의 간에 기하학적 랑글랜드 이중성 동치를 수립한다. 함수-sheaf 대응과 동차 코homology를 사용하여, 그로텐디에크 군 위에서의 동형사상으로 이어지는 텐서 동치를 구축하며, 이는 무한차원 다양체 위의 편재 sheaf를 통해 Satake 동치를 기하학적으로 실현한다.

ABSTRACT

An intrinsic construction of the tensor category of finite dimensional representations of the Langlands dual group of G in terms of a tensor category of perverse sheaves on the loop group, LG, is given. The construction is applied to the study of the topology of the affine Grassmannian of G and to establishing a Langlands type correspondence for "automorphic" sheaves on the moduli space of G-bundles.

연구 동기 및 목표

• 애질레이션 그라스만 위의 편재 sheaf를 이용하여 Satake 동치의 기하학적 해석을 제공하는 것.
• 애질레이션 그라스만 $\mathrm{Gr}$ 위의 $G(\overline{F}[[z]])$-동차 편재 sheaf의 범주와 랑글랜드 이중군 $G^\lor$의 유한차원 유리형 표현의 범주 사이의 텐서 동치를 수립하는 것.
• 함수-sheaf 대응을 통해 $G(\mathbb{Z}_p)\backslash G(\mathbb{Q}_p)/G(\mathbb{Z}_p)$의 헤이크 대수를 편재 sheaf의 그로텐디에크 군으로서 실현하는 것.
• 일반적인 Satake 동치를 $p$-진 수체를 복소 형식적 멱급수로 대체함으로써 기하학적 설정으로 확장함으로써, 대수기하학과 편재 sheaf 이론의 활용을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 복소대수다양체로서의 애질레이션 그라스만 $\mathrm{Gr} = G(\overline{F}((z)))/G(\overline{F}[[z]])$ 를 정의하고, $G(\overline{F}[[z]])$-작용을 갖는다.
• 반단순인 $G(\overline{F}[[z]])$-동차 편재 sheaf의 범주 $P(\mathrm{Gr})$ 를 정의하고, 컨볼루션 텐서 곱의 구조를 부여한다.
• 각 편재 sheaf $\mathcal{F} \in P(\mathrm{Gr})$ 에 대해 함수-sheaf 대응을 적용하여 $G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])$ 위의 함수 $\chi_{\mathcal{F}}$ 를 할당하고, $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(P(\mathrm{Gr})) \simeq \mathbb{C}[G(\mathbb{F}[[z]])\backslash G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])]$ 의 동형사상을 유도한다.
• Satake 동치와 그 랑글랜드 이중군 $G^\lor$ 를 통한 재해석을 적용하여, $\mathbb{C}[X^*(T^\lor)]^W \simeq \mathbb{C}[G^\lor]^{G^\lor}$ 를 식별하고, $G^\lor$ 위의 다항식 동치 함수의 대수를 얻는다.
• 편재 sheaf $\mathcal{P}(V)$ 의 초코homology 와 해당 표현 $V \in \mathrm{Rep}_{G^\lor}$ 의 기저 벡터 공간 사이에 자연스러운 동형사상을 수립한다.
• 정규 원소를 갖는 리 대수의 원소에서의 특수화를 통해, 동차 코homology 기법(특히 국소화 정리와 쿤렌트 공식)을 적용하여 동차 복합체의 코homology 를 분석하고, 이를 일반 코homology 와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 애질레이션 그라스만 위의 편재 sheaf 를 통해 $G(\mathbb{Z}_p)\backslash G(\mathbb{Q}_p)/G(\mathbb{Z}_p)$ 의 헤이크 대수와 코웨이트 라벨의 $W$-불변 부분대수 간의 Satake 동치를 어떻게 기하학적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 루프 군과 그들의 편재 sheaf 를 배경으로 하는 기하학적 랑글랜드 이중성의 근본적인 범주적 동치는 무엇인가?
• RQ3 무한차원 다양체 $\mathrm{Gr}$ 위에서의 함수-sheaf 대응은 어떻게 $G^\lor$ 위의 동치 함수를 복원하는가?
• RQ4 representation theory of $G^\lor$ 는 애질레이션 그라스만 위의 동차 편재 sheaf 의 동차 코homology 로 재구성될 수 있는가, 그리고 만약 그렇다면 어떻게?
• RQ5 동차 도파이드 범주와 국소화 정리는 편재 sheaf 의 코homology 와 $G^\lor$ 의 표현 이론을 어떻게 연결하는가?

주요 결과

• 범주 $P(\mathrm{Gr}) \simeq \mathrm{Rep}_{G^\lor}$ 의 텐서 동치가 존재하며, 이는 그로텐디에크 군 위에서의 동형사상을 유도한다: $\mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(P(\mathrm{Gr})) \simeq \mathbb{C} \otimes_{\mathbb{Z}} K(\mathrm{Rep}_{G^\lor})$.
• 표현 $V \in \mathrm{Rep}_{G^\lor}$ 의 기저 벡터 공간은 해당 편재 sheaf $\mathcal{P}(V) \in P(\mathrm{Gr})$ 의 초코homology 와 자연스럽게 동형이며, 이는 표현 공간의 기하학적 실현을 제공한다.
• 함수-sheaf 대응은 각 편재 sheaf $\mathcal{F} \in P(\mathrm{Gr})$ 에 대해 $G(\mathbb{F}[[z]])$-불변 함수를 $G(\mathbb{F}((z)))/G(\mathbb{F}[[z]])$ 위에 할당하며, 이 대응은 $G^\lor$ 위의 동치 함수의 대수와 동형을 이룬다.
• T-동차 편재 sheaf $M$ 이 T-다양체 $Y$ 위에 있을 때, 동차 코homology $H^\bullet_T(M)$ 은 $H^\bullet(BT)$ 위의 자유 모듈로서, 정규 점 $t \in \mathfrak{t}$ 에서의 특수화는 $\mathrm{gr}^W H_t(M) \cong H^\bullet(M)$ 으로 일반 코homology 를 유도한다.
• 국소화 정리는 $t$ 가 정규일 조건 하에서, 동차 코homology $H_t(Y,M)$ 을 고정점 부분다양체 $Y^T$ 에서의 $i_!$ 의 푸시포워드를 통해 $Y$ 위의 코homology 와 동일시한다.
• 동차 코homology 에 대해 쿤렌트 공식이 성립한다: $H^\bullet_T(M \boxtimes M') \cong H^\bullet_T(M) \mathbin{\otimes_{H^\bullet(BT)}} H^\bullet_T(M')$ 로서, 공간의 곱에 대한 코homology 의 분해를 가능하게 한다.