[논문 리뷰] Perverse Sheaves on Loop Grassmannians and Langlands Duality

Ivan Mirković, Kari Vilonen|ArXiv.org|1997. 03. 09.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 4인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 루프 그라스만يان $\mathcal{G}$ 위의 $G(\mathcal{O})$-여러분 편리한 복소수의 범주와 $\check{G}$의 표현의 범주의 사이에 텐서 동치를 구성함으로써 기하학적 사타케 이sov미즘을 확립한다. 이는 자연스러운 교환 법칙을 가진 컨볼루션 곱을 사용한다. 주요 결과는 이러한 복소수의 전역 코homology를 $\check{G}$의 기약 표현과 식별함으로써, 궤적의 교차의 기약 성분에 의해 인덱싱된 자연스러운 기저를 제공한다.

ABSTRACT

We outline a proof of a geometric version of the Satake isomorphism. Given a connected, complex algebraic reductive group G we show that the tensor category of representations of the dual group $\check G$ is naturally equivalent to a certain category of perverse sheaves on the loop Grassmannian of G. The above result has been announced by Ginsburg in \cite{G} and some of the arguments are borrowed from \cite{G}. However, we use a more "natural" commutativity constraint for the convolution product, due to Drinfeld. Secondly, we give a direct geometric proof that the global cohomology functor is exact and decompose this cohomology functor into a direct sum of weights. We avoid the use of the decomposition theorem of \cite{BBD} which makes our techniques applicable to perverse sheaves with coefficients over arbitrary commutative rings. This note includes sketches of (some of the) proofs. The details, as well as the generalization to representations over arbitrary fields and commutative rings will appear elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 편리한 복소수 위의 루프 그라스만يان을 이용한 사타케 이sov미즘의 기하학적 실현을 확립하기 위해.
• 분해 정리에 의존하지 않고 전역 코homology 함자에 대한 정확성과 무게 분해의 직접적 기하학적 증명을 제공하기 위해.
• 드린펠트의 구성법을 사용하여 컨볼루션 곱에 대한 자연스러운 교환 법칙을 정의함으로써 이전 접근법을 개선하기 위해.
• 루프 그라스만يان 위의 기약 편리한 복소수의 전역 코hom로 $\check{G}$의 기약 표현을 식별하고 자연스러운 기저를 얻기 위해.
• 코homology 군이 특히 궤적의 교차의 기약 성분으로서 대수적 사이클에 의해 생성됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 루프 그라스만يان $\mathcal{G} = G(\mathcal{K})/G(\mathcal{O})$를 $X_*(T)$의 코중량 $\lambda$에 의해 인덱싱된 $G(\mathcal{O})$-궤도로의 분할을 가진 인드-스킴으로 정의한다.
• 다이어그램 $\mathcal{G} \times \mathcal{G} \leftarrow G(\mathcal{K}) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G} \xrightarrow{m} \mathcal{G}$를 사용하여 $G(\mathcal{O})$-여러분 편리한 복소수 위의 컨볼루션 곱을 구성한다. 여기서 $Rm_*\tilde{A}$가 컨볼루션으로서 작용한다.
• Zariski 위상에서 $p$와 $q$가 국소적으로 평탄하다는 사실을 이용하여 $\tilde{A}$의 존재를 확보하고, 계층화된 반소작은성으로부터 $Rm_*\tilde{A}$가 편리한 복소수임을 증명한다.
• 군 $\mathfrak{g}_{\mathcal{K}}$ 위의 잔여 형식을 통해 $\mathcal{G}$ 위에 파울슨 구조를 도입하고, 심플렉틱 잎을 $G(\mathcal{O})$-궤도와 $K_-$-궤도의 교차로 식별한다.
• 역도산적 $\nu$일 때 $S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$가 $\mathcal{G}^\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$ 안에서 라그랑주임을 보이며, 파울슨 구조를 이용해 차원 추정을 한다.
• 요약형과 순수성을 사용하여 차원 추정을 일반적인 $\nu$로 확장하고, $\dim(m^{-1}S_\nu \cap p^{-1}(\mathcal{G}_\lambda) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G}_\mu) = \operatorname{ht}(\lambda + \mu + \nu)$임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 BBD의 분해 정리를 사용하지 않고 기하학적 사타케 이sov미즘을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ2 루프 그라스만يان의 맥락에서 컨볼루션 곱에 대한 올바른 자연스러운 교환 법칙은 무엇인가?
• RQ3 루프 그라스만얀 위의 기약 편리한 복소수의 전역 코homology 군은 어떻게 $\check{G}$의 기약 표현을 실현하는가?
• RQ4 $\check{G}$의 표현에 대한 자연스러운 기저의 기하학적 기원은 무엇인가?
• RQ5 루프 그라스만얀 위의 심플렉틱 잎과 파울슨 구조는 컨볼루션 다이어그램에서의 피복 곱의 차원을 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• 루프 그라스만얀 위의 $G(\mathcal{O})$-여러분 편리한 복소수의 범주에서 궤적 분할에 대해 구축된 복소수의 범주로의 忘却 함자는 동치이다.
• 전역 코homology 함자 $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, -)$는 정확하고, 분해 정리가 필요 없이 무게 성분의 직합으로 분해된다.
• 기약 편리한 복소수 $\mathcal{V}_\lambda = j_{!*}\Bbbk_\lambda[\dim \mathcal{G}_\lambda]$는 동치 아래에서 $\check{G}$의 기약 표현 $V_\lambda$에 대응된다.
• 표현 공간 $V_\lambda$는 전역 코homology $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, \mathcal{V}_\lambda)$와 자연스럽게 동형이며, 이는 $\bigoplus_{\nu \in X_*(T)} \Bbbk[\operatorname{Irr}(S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda)]$로 분해된다.
• 코homology $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, \mathcal{V}_\lambda)$는 특히 $S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$의 기약 성분으로서 대수적 사이클에 의해 생성된다.
• 피복 곱 $m^{-1}S_\nu \cap p^{-1}(\mathcal{G}_\lambda) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G}_\mu$는 순수한 차원 $\operatorname{ht}(\lambda + \mu + \nu)$을 가지며, 핵심 차원 추정을 확립한다.