[論文レビュー] Ring objects in the equivariant derived Satake category arising from Coulomb branches (with an appendix by Gus Lonergan)

Alexander Braverman, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、三重の多様体からアフィングラスマンニアンへの射影の下での双対化複体の直接像が、G-不変導来Satake圏における可換環対象をなすこと、および3次元 $\mathcal{N}=4$ ゲージ理論のクーロンブランチの構成を一般化することを確立する。この環対象は、G-不変コホモロジーに可換な積を誘導し、可換性の概念的証明を提供する。また、タイプ $A$ のクイバーゲージ理論から生じる正則層（ラングランズ双対群に関連するもの）が、3次元シシリアン理論のヒッグスブランチと関連することを示し、それによりクーロンブランチとヒッグスブランチの関係を明確にする。

ABSTRACT

This is the second companion paper of arXiv:1601.03586. We consider the morphism from the variety of triples introduced in arXiv:1601.03586 to the affine Grassmannian. The direct image of the dualizing complex is a ring object in the equivariant derived category on the affine Grassmannian (equivariant derived Satake category). We show that various constructions in arXiv:1601.03586 work for an arbitrary commutative ring object. The second purpose of this paper is to study Coulomb branches associated with star shaped quivers, which are expected to be conjectural Higgs branches of $3d$ Sicilian theories in type $A$ by arXiv:1007.0992.

研究の動機と目的

• G-不変導来Satake圏における環対象を用いたクーロンブランチの数学的定義の一般化。
• 三重の多様体のG-不変コホモロジーにおける畳み込み積の可換性を、直接計算を避けた幾何的で概念的な構成により証明。
• タイプ $A$ のフレーム付きクイバーゲージ理論から生じる正則層（可換環対象）の実現。これにより、3次元シシリアン理論のヒッグスブランチと関連づけられる。
• 星型クイバーゲージ理論のクーロンブランチを、個々の脚から得られる環対象の貼り合わせ構成として扱う。
• このようなクイバーのクーロンブランチとタイプ $A$ のジンツブルグ＝カジダン正標数的シンプレクティック多様体との同型を確立。

提案手法

• 射影 $\pi: \mathcal{R} \to \mathrm{Gr}_G$ を用いて、G-不変導来カテゴリ $D_G(\mathrm{Gr}_G)$ 内に環対象 $\mathscr{A} = \pi_*\boldsymbol{\omega}_{\mathcal{R}}[-2\dim\mathbf{N}_{\mathcal{O}}]$ を構成する。
• 畳み込み積 $\mathsf{m}: \mathscr{A} \star \mathscr{A} \to \mathscr{A}$ を定義し、これが $\mathscr{A}$ に $D_G(\mathrm{Gr}_G)$ 内での可換環構造を与えることを示す。
• 導来Satake同倣を用いて、$\mathscr{A}$ をタイプ $A_{N-1}$ で次元ベクトルが特定のものであるフレーム付きクイバーゲージ理論に対応する正則層 $\mathscr{A}_R$ と同定する。
• 各脚に沿った環対象から新たな可換環対象を構成する貼り合わせ構成 $i_\Delta^!(\boxtimes \mathscr{A}_i)$ を適用する。
• 星型クイバーのクーロンブランチが、タイプ $A_1$ および $A_2$ においてジンツブルグ＝カジダン構成と一致することを検証し、期待されるシンプレクティック幾何学的性質を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三重の多様体のG-不変ボレル＝モーアホモロジーにおける畳み込み積の可換性は、直接計算を避けた幾何的証明が可能か？
• RQ2 導来Satake圏における正則層 $\mathscr{A}_R$ は、タイプ $A$ のクイバーゲージ理論からの押し出しとして生じるか？
• RQ3 星型クイバーゲージ理論のクーロンブランチは、その脚からの環対象の貼り合わせとして実現可能であり、既知のシンプレクティック多様体と一致するか？
• RQ4 タイプ $A$ の3次元シシリアン理論のクーロンブランチは、ジンツブルグ＝カジダン正標数的シンプレクティック多様体と同型か？
• RQ5 ラングランズ双対群の自己同型 $g \mapsto g^{-1}$ は、環対象の構成およびその対称性の性質においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 直接像 $\mathscr{A} = \pi_*\boldsymbol{\omega}_{\mathcal{R}}[-2\dim\mathbf{N}_{\mathcal{O}}]$ は $D_G(\mathrm{Gr}_G)$ 内の可換環対象であり、畳み込み積の可換性の概念的証明を提供する。
• ラングランズ双対群 $G^\vee$ の既約表現に対応する正則層 $\mathscr{A}_R$ は、タイプ $A_{N-1}$ で $\dim V = (N-1, N-2, \dots, 1)$ および $\dim W = (N, 0, \dots, 0)$ であるフレーム付きクイバーゲージ理論に対応する $\mathscr{A}$ として実現される。
• 星型クイバーゲージ理論のクーロンブランチは、貼り合わせ構成および [Bap15] の同型により、タイプ $A$ のジンツブルグ＝カジダン多様体と同型である。
• $A_1$ および $A_2$ に対して、クーロンブランチはそれぞれ $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ および最小ナポレオン型軌道と同型であり、期待されるシンプレクティック幾何学的性質が確認される。
• $G^\vee$ 上の自己同型 $g \mapsto g^{-1}$ は、命題 5.20 の証明および命題 5.23 の対角埋め込みにおいて、導来Satake同倣と整合性を保つために使用され、作用の補正に不可欠である。