[论文解读] Phase transition in Stabilizer Entropy and efficient purity estimation

Lorenzo Leone, Salvatore F. E. Oliviero+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 56被引用 5

一句话总结

本文提出了一种稳定子熵（SE）的相变，使高度纠缠量子态的纯度估计变得高效。通过使用 Clifford 操作将 SE 局域化于子系统，该方法在现有算法基础上实现了指数级加速，当非 Clifford 门数量为 O(log n) 时，仅用多项式资源即可估计出指数级小的纯度。

ABSTRACT

Stabilizer Entropy (SE) quantifies the spread of a state in the basis of Pauli operators. It is a computationally tractable measure of non-stabilizerness and thus a useful resource for quantum computation. SE can be moved around a quantum system, effectively purifying a subsystem from its complex features. We show that there is a phase transition in the residual subsystem SE as a function of the density of non-Clifford resources. This phase transition has important operational consequences: it marks the onset of a subsystem purity estimation protocol that requires $poly(n)exp(t)$ many queries to a circuit containing $t$ non-Clifford gates that prepares the state from a stabilizer state. Then, for $t=O(\log_2 n)$, it estimates the purity with polynomial resources and, for highly entangled states, attains an exponential speed-up over the known state-of-the-art algorithms.

研究动机与目标

• 为解决因纠缠和非稳定子性导致经典难以模拟的非稳定子量子态中纯度估计的低效问题。
• 探索是否可利用可高效处理的稳定子形式，通过熵转移简化非稳定子态。
• 开发一种协议，通过局域化稳定子熵，实现对纯度呈指数级小的态的高效纯度估计。
• 识别由非 Clifford 资源扩散与局域化之间的平衡所驱动的稳定子熵相变。
• 建立 SE 局域化与量子态表征任务中指数级加速之间的联系。

提出的方法

• 利用 Clifford 操作将目标子系统的稳定子熵（SE）从目标子系统转移至参考子系统，从而‘冷却’目标子系统并简化其结构。
• 通过一种清洁算法构造一个稳定子态 ρ，该算法将原始态 ψ_t 通过一个对角化酉矩阵 W 映射，同时保持总 SE 不变。
• 通过测量 ρ 的约化密度矩阵的纯度来估计目标子系统 ψ_E 的纯度，仅需 O(n³) 次测量，对稳定子态而言是高效的。
• 应用从交换测试导出的界：下界 ∣Pur(ρ_X) ≤ Pur(ψ_E)∣ 和上界 ∣Pur(ψ_E) ≤ d_Y² Pur(ρ_X)∣，其中 d_Y = 2^t 且 t = O(log n)。
• 利用上界，仅用多项式资源即可估计 Pur(ψ_E) = 2^{-αn + O(log n)}，即使真实纯度为指数级小。
• 将 SE 的相变用作诊断工具：当非 Clifford 资源被局域化时，协议实现指数级加速；当资源扩散时，协议无法提供优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳定子熵是否随非 Clifford 资源密度变化而出现相变？其操作后果是什么？
• RQ2 是否可通过 Clifford 操作在子系统中实现稳定子熵的局域化，从而实现对原本难以处理的态的高效纯度估计？
• RQ3 当非 Clifford 门数量为 O(log n) 时，纯度估计的资源标度如何？是否相对于已知算法实现指数级加速？
• RQ4 SE 局域化与扩散之间的相互作用如何与量子复杂性及信息 scrambling 相关联？
• RQ5 SE 清洁协议能否推广至时间演化态，或扩展至其他量子信息任务（如纠错或热力学）？

主要发现

• 观察到稳定子熵随非 Clifford 资源密度变化而出现相变，标志着局域化相与非局域化相之间的转变。
• 当 t = O(log n)，即非 Clifford 门数量为 O(log n) 时，协议可估计目标态的纯度为 Pur(ψ_E) = 2^{-αn + O(log n)}，且仅使用多项式资源。
• 该协议在真实纯度为指数级小时，相对于已知算法实现了指数级加速。
• 下界 ∣Pur(ρ_X) ≤ Pur(ψ_E)∣ 确保在局域化相中，多项式数量的测量足以分辨纯度。
• 上界 ∣Pur(ψ_E) ≤ d_Y² Pur(ρ_X)∣，其中 d_Y = 2^t = poly(n)，使得仅用多项式测量次数即可估计出指数级小的纯度。
• 该协议的成功取决于 SE 的局域化相，即非 Clifford 资源被限制在特定区域，从而可通过稳定子形式实现高效处理。