[论文解读] Phase transitions and noise sensitivity on the Poisson space via stopping sets and decision trees

Günter Last, Giovanni Peccati+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 68被引用 5

一句话总结

本文通过引入连续时间决策树和广义停止集的新概念，为泊松过程泛函建立了OSSS与Schramm-Steif不等式的内在版本。通过将分析简化为临界状态下的单臂概率计算，该文证明了连续渗滤模型中的精确相变和噪声敏感性，解决了泊松布尔模型与方格渗滤中长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

Proofs of sharp phase transition and noise sensitivity in percolation have been significantly simplified by the use of randomized algorithms, via the OSSS inequality (proved by O'Donnell, Saks, Schramm and Servedio (2005)) and the Schramm-Steif inequality for the Fourier-Walsh coefficients of functions defined on the Boolean hypercube. In this article, we prove intrinsic versions of the OSSS and Schramm-Steif inequalities for functionals of a general Poisson process, and apply these new estimates to deduce sufficient conditions - expressed in terms of randomized stopping sets - yielding sharp phase transitions, quantitative noise sensitivity, exceptional times and bounds on critical windows for monotonic Boolean Poisson functions. Our analysis is based on a new general definition of `stopping set', not requiring any topological property for the underlying measurable space, as well as on the new concept of a `continuous-time decision tree', for which we establish several fundamental properties. We apply our findings to the $k$-percolation of the Poisson Boolean model and to the Poisson-based confetti percolation with bounded random grains. In these two models, we reduce the proof of sharp phase transitions for percolation, and of noise sensitivity for crossing events, to the construction of suitable randomized stopping sets and the computation of one-arm probabilities. This enables us to settle some open problem suggested by Ahlberg, Tassion and Texeira (2018) on noise sensitivity of crossing events for the planar Poisson Boolean model and also planar Confetti percolation model. Further, we also prove that critical probability is $1/2$ in certain planar confetti percolation models. A special case of this result was conjectured by Benjamini and Schramm (1998) and proved by Müller (2017). Other special cases were proven by Hirsch (2015) and Ghosh and Roy (2018).

研究动机与目标

• 将原本适用于超立方体上布尔函数的OSSS与Schramm-Steif不等式，推广至一般泊松过程的泛函。
• 在不依赖底层空间的拓扑假设条件下，建立停止集与连续时间决策树（CTDTs）的一般理论。
• 将这些工具应用于证明连续渗滤模型中的精确相变与噪声敏感性，包括泊松布尔模型与方格模型。
• 解决关于具有有限$(2+\alpha)$-矩的平面泊松布尔模型中交叉事件的噪声敏感性，以及具有对称颗粒的方格渗滤临界概率为$1/2$的开放问题。
• 统一并推广先前关于渗滤中临界概率与噪声敏感性的结果，包括Benjamini-Schramm、Müller、Hirsch以及Ghosh-Roy的研究。

提出的方法

• 提出一种不依赖底层可测空间拓扑结构的停止集新定义。
• 将连续时间决策树（CTDTs）定义为泊松泛函的随机算法的连续时间类比。
• 建立泊松空间版本的OSSS不等式，通过CTDTs的揭示概率来界定方差。
• 推导出泊松空间版本的Schramm-Steif不等式，将傅里叶-沃尔什系数与揭示概率及噪声敏感性联系起来。
• 利用Ornstein-Uhlenbeck半群分析泊松设定下的噪声稳定性和敏感性。
• 通过构造合适的随机停止集并计算临界状态下的单臂概率，将不等式应用于$k$-渗滤与方格渗滤。

实验结果

研究问题

• RQ1 OSSS与Schramm-Steif不等式能否推广至抽象可测空间上泊松过程泛函？
• RQ2 停止集与连续时间决策树在刻画连续渗滤中噪声敏感性与相变时起什么作用？
• RQ3 具有有限$(2+\alpha)$-矩的随机球的平面泊松布尔模型是否对交叉事件表现出噪声敏感性？
• RQ4 具有有界、关于$\pi/2$旋转与反射对称的颗粒的方格渗滤的临界概率是否恰好为$1/2$？
• RQ5 停止集的构造与单臂概率估计能否用于证明连续渗滤模型中的精确相变？

主要发现

• 本文在无需任何拓扑假设的一般可测空间上，为泊松泛函建立了OSSS与Schramm-Steif不等式的内在版本。
• 证明了具有有限$(2+\alpha)$-矩的随机球的平面泊松布尔模型对交叉事件表现出噪声敏感性，证实了Ahlberg等人提出的猜想。
• 对于具有有界、关于$\pi/2$旋转与反射对称的颗粒的方格渗滤，临界概率恰好为$1/2$，解决了Benjamini与Schramm提出的猜想。
• 结果统一并推广了Müller、Hirsch以及Ghosh-Roy在特定渗滤模型中关于临界概率与噪声敏感性的先前发现。
• 精确相变与噪声敏感性的证明被简化为构造随机停止集并计算临界状态下的单臂概率。
• 本文表明，某些停止集无法由任何$\lambda$-连续的CTDT实现，从而证明了新理论框架的必要性。